WAGNER RODRIGUES POETA E CRONISTA

Não se trata, apenas, de Jeová, o Deus de Abrão. Quase todos os deuses de quase todas as religiões são chauvinistas. Jeová, Alah, Zeus, Odin eram deuses para além de machões. Xiva, se você pensa que era mulher se engana. Xiva era hermafrodita, pois trazia os “adereços” de ambos os sexos.

Como estamos aqui no ocidente do mundo, vamos nos ater ao Deus dos judeus e cristãos. Analisemos o Torah (ou o velho testamento) e os evangelhos.

A primeira parte é simples.  Provar ser Deus o primeiro. Creio haver pouco a discutir, pelo menos por partes dos que acreditam. Todos os crentes “sabem” que Deus criou tudo, portanto precede a qualquer humano. Então Deus, seja misógino ou o que seja, seria primordial. Os ateus, esses ateus, como não admitem a existência de Deus em sua fé, diriam que foi o homem (ou a mulher) quem criou Deus. Acho que posso afirmar que a maioria das mulheres não criaria um misógino. Mais provável, teria sido um homem. Então já teria sido criado misógino, óbvio.

A segunda parte deve ser mais elaborada. Seria Deus misógino ou não? Para tanto, analisemos o Torah (ou o velho testamento) e os evangelhos.

Comecemos pelo começo. Genesis, aqui vamos nós:

¹ No princípio criou Deus os céus e a terra.

² E a terra era sem forma e vazia; e havia trevas sobre a face do abismo; e o Espírito de Deus se movia sobre a face das águas.

³ E disse Deus: Haja luz; e houve luz.

⁴ E viu Deus que era boa a luz; e fez Deus separação entre a luz e as trevas.

⁵ E Deus chamou à luz Dia; e às trevas chamou Noite. E foi a tarde e a manhã, o dia primeiro.

Gênesis 1:1-5

Notem que Deus (Jeová) vai criando tudo em seis dias, para descansar no sétimo. Saltemos para o quinto dia, pouco antes de criar o homem:

²⁰ E disse Deus: Produzam as águas abundantemente répteis de alma vivente; e voem as aves sobre a face da expansão dos céus.

²¹ E Deus criou as grandes baleias, e todo o réptil de alma vivente que as águas abundantemente produziram conforme as suas espécies; e toda a ave de asas conforme a sua espécie; e viu Deus que era bom.

²² E Deus os abençoou, dizendo: Frutificai e multiplicai-vos, e enchei as águas nos mares; e as aves se multipliquem na terra.

²³ E foi a tarde e a manhã, o dia quinto.

Gênesis 1:20-23

No quinto dia, Deus cria os seres que vivem nos mares e dos ares e tudo muito achou bom. Interessante esse juízo de valores sobre a própria obra. É possível que Deus também tenha sido o primeiro egocêntrico, mas deixemos isso para outra crônica.

Vamos imediatamente ao sexto dia e vejam o que acontece:

²⁴ E disse Deus: Produza a terra alma vivente conforme a sua espécie; gado, e répteis e feras da terra conforme a sua espécie; e assim foi.

²⁵ E fez Deus as feras da terra conforme a sua espécie, e o gado conforme a sua espécie, e todo o réptil da terra conforme a sua espécie; e viu Deus que era bom.

²⁶ E disse Deus: Façamos o homem à nossa imagem, conforme a nossa semelhança; e domine sobre os peixes do mar, e sobre as aves dos céus, e sobre o gado, e sobre toda a terra, e sobre todo o réptil que se move sobre a terra.

²⁷ E criou Deus o homem à sua imagem; à imagem de Deus o criou; homem e mulher os criou.

²⁸ E Deus os abençoou, e Deus lhes disse: Frutificai e multiplicai-vos, e enchei a terra, e sujeitai-a; e dominai sobre os peixes do mar e sobre as aves dos céus, e sobre todo o animal que se move sobre a terra.

²⁹ E disse Deus: Eis que vos tenho dado toda a erva que dê semente, que está sobre a face de toda a terra; e toda a árvore, em que há fruto que dê semente, ser-vos-á para mantimento.

³⁰ E a todo o animal da terra, e a toda a ave dos céus, e a todo o réptil da terra, em que há alma vivente, toda a erva verde será para mantimento; e assim foi.

³¹ E viu Deus tudo quanto tinha feito, e eis que era muito bom; e foi a tarde e a manhã, o dia sexto.

Gênesis 1:24-31

Assim foi o sexto dia da criação, toda alma vivente da que viveria na terra teria sido criada aos pares, inclusive o homem e a mulher.

Porém a coisa não terminou aí, como veremos. Se o segundo capítulo não é tão claro quanto a tradição judaica-mesopotâmica (conhecimento histórico não descrito no Torah), pois Deus explica que fez o homem do pó da terra como deve ter sido com todos os casais de animais, viu Deus que Adão se encontrava só. Estranho estar ele só se os fez homem e mulher… Mas a palavra de Deus nos dá uma pista. Vejamos:

¹⁵ E tomou o Senhor Deus o homem, e o pôs no jardim do Éden para o lavrar e o guardar.

¹⁶ E ordenou o Senhor Deus ao homem, dizendo: De toda a árvore do jardim comerás livremente,

¹⁷Mas da árvore do conhecimento do bem e do mal, dela não comerás; porque no dia em que dela comeres, certamente morrerás.

¹⁸ E disse o Senhor Deus: Não é bom que o homem esteja só; far-lhe-ei uma ajudadora idônea para ele.

Gênesis 2:15-18

Genesis 2 explica que Adão, ao contrário dos outros animais da terra estava só. Mas o que Deus explica em seguida nos indica o que não está textualmente descrito. Da costela de Adão Deus produz não uma mulher, mas uma ajudadora. Além disso, não apenas uma ajudadora, mas uma ajudadora idônea. Idônea! Ora por que Deus iria fazer agora uma ajudadora e idônea? É bem provável que por que, no casal feito a princípio, a fêmea criada não teria sido idônea? Será? Primeiro erro de Deus? Já em Gênesis parece que Deus, às vezes, se arrepende. A existência de Lilith passa a ser quase inexistente no Velho testamento e inexiste nos evangelhos. Entretanto, a Isaias, ao mesmo Isaias que antecipa a vinda do Messias, lhe escapa uma menção bem desonrosa, com deveria mesmo ter passado a ser essa figura desobediente.

14 E as feras do deserto se encontrarão com hienas; e o sátiro clamará ao seu companheiro; e Lilith pousará ali, e achará lugar de repouso para si.

Gênesis 1:24-31

Outras versões tentam substituir a figura de Lilith por outras palavras, por medo dessa lembrança. Afinal, como Deus não deveria gostar de mostrar seus erros e arrependimentos, assim pretenderam esses tradutores não tão idôneos.

Mas nós não somos obrigados a enfiar a cabeça no velho testamento. Há outras referências a serem observadas. Lilith existe em vários textos mitológicos ou religiosos, como o Talmude Mesopotâmico e o Alfabeto Ben Sira. Consideremos um texto trazido dessa obra escrita por Jesus Ben Sira, por volta de 130AC:

“Logo depois, o jovem filho do rei adoeceu, disse Nabucodonosor a Ben Sira: ‘Cure o meu filho. Se não o fizer, eu vou te matar.’

Ben Sira imediatamente se sentou e escreveu um amuleto com o Santo Nome, e ele inscreveu nele os anjos encarregados da medicina por seus
nomes, formas e imagens, e por suas asas, mãos e pés.

Nabucodonosor olhou para o amuleto e perguntou a Ben Sira: “Quem são estes?”

Ben Sira respondeu: ‘Estes são os anjos que estão encarregados da medicina: Snvi, Snsvi e Smnglof.

Depois que Deus criou Adão, que estava sozinho, Ele disse:  Não é bom para o homem ficar só’

Ele então criou uma mulher para Adão, da terra, como Ele próprio criou Adão, e a chamou de Lilith. No entanto, Adão e Lilith começaram a discutir:

Ela disse: ‘Não vou deitar embaixo’, e ele disse: ‘Não vou deitar embaixo de você, mas apenas em cima. Pois você só serve para ficar na posição inferior, enquanto eu estou na posição superior. ‘Lilith respondeu: ‘Somos iguais um ao outro, visto que ambos fomos criados da terra.’

Mas eles não quiseram ouvir um ao outro.

Quando Lilith viu isso, ela pronunciou o Nome Inefável e voou pelos ares.

Adão orou diante de seu Criador: ‘Soberano do universo!’ ele disse, ‘a mulher que você me deu fugiu.’

Imediatamente, o Santo, bendito seja Ele, enviou esses três anjos, Snvi, Snsvi e Smnglof, para trazê-la de volta.

Disse o Santo a Adão: ‘Se ela concordar em voltar, ótimo. Do contrário, ela deve permitir que cem de seus filhos morram todos os dias.’

Os anjos deixaram Deus e perseguiram Lilith, a quem alcançaram no meio do mar, nas poderosas águas em que os egípcios estavam destinados a se afogar.

Disseram-lhe a palavra de Deus, mas ela não quis voltar. Os anjos disseram: ‘Nós afogaremos você no mar.’

‘Deixai-me!’ ela disse. ‘Eu fui criada apenas para causar doenças aos bebês. Se o bebê for do sexo masculino, eu tenho domínio sobre ele
por oito dias após seu nascimento, e se feminino, por vinte dias.’

Quando os anjos ouviram as palavras de Lilith, eles insistiram para que ela voltasse. Mas ela jurou-lhes pelo nome do Deus vivo e eterno: ‘Sempre que eu ver você ou seus nomes ou suas formas em um amuleto, não terei poder sobre aquela criança.’

Lilith também concordou que cem de seus filhos morressem todos os dias.

Assim, todos os dias cem demônios morrem e, pelo mesmo motivo,
escrevemos os nomes dos anjos nos amuletos das crianças.

Quando Lilith vê seus nomes, ela se lembra do seu juramento, e a criança se recupera. Fim do relato de Lilith conforme consta no Alfabeto de Ben Sira.

Referência:

1. Stern, David and Mirsky, Mark Jay. Rabbinic Fantasies: Imaginative Narratives from Classical Hebrew Literature (Yale Judaica Series). Philadelphia, Jewish Publication Society, 1990. Pp. 183-184.

Jesus Ben-Sira foi um dos grandes escribas eclesiásticos. Foi um dos mais importantes escritores da literatura bíblica judaica. Hoje em dia, quase toda a referência a Lilith desapareceu das práticas oficiais judaicas e cristãs. Só porque queria fazer sexo pelo lado de cima, Lilith foi expulsa, descasada, amaldiçoada pelo Senhor. Os eruditos religiosos gastam toda sua dialética para essa limpeza étnica em favor do queridinho da Criação. Essa preferência de Deus por Adão, a ponto de recriar uma tal de “ajudadora” e ainda “idônea” é muito, muito chauvinista.

Nem Jesus, que preferiu Maria Madalena frente aos outros apóstolos, conseguiu atenuar os problemas de seu Pai.

APÊNDICE

A função exponencial y = e^x tem a intrigante e única propriedade de ser sua própria derivada, i.e.:

d e^x /dx = e^x. Isso é mais uma definição que uma propriedade única. Dessa forma, pode-se definir que que só existe um único número maior que zero que satisfaça a equação ln(x)   , sendo esse x igual a “e”. Portanto  também define o número neperiano e.

 Prova de que: e^x = lim _n->∞[(1 + x / n) ⁿ]^x

Primeiramente vamos provar que: e= lim _n->∞[(1 + 1 / n) ⁿ]

Para isto vamos chamar h=1/n para transformar a equação acima em:

e= lim _h->0 [(1 + h) ^1/h]

Para fazer esta demonstração vamos utilizar a definição de derivada da função f(x)=ln.

Pela definição de logaritmo, d.ln(x)/dx=1/x e para x=1 temos que:

f’(x)=1/1=1

Assim lim _h->0 {[ln(1 + h)– ln(1)]/h} e como ln(1) = 0 (pois e⁰=1) simplificamos:

1 = lim _h->0 [(1/h).ln(1 + h)] e usando a propriedade dos logaritmos de que ln x^r=r.ln x , pois se ln x^r=B => (e^B = x^r ) ou que (e^B/r = x) assim ln(x)=B/r ou que r.ln(x)=B= ln x^r

temos: 1 = lim _h->0 [ln(1 + h)]^1/h e considerando a continuidade da função logarítmica que define que se lim ln f(x) = ln lim f(x)

temos: 1 = ln { lim _h->0  [(1 + h)^1/h ] }

e como por definição ln e = 1 temos que:  ln e = ln{ lim _h->0  [(1 + h)^1/h ]}

portanto:  e = lim _h->0  [(1 + h)^1/h ] ou ainda: e = lim _n->∞[(1 + 1 / n) ⁿ]”

 lim _n->∞[(1 + x / n) ⁿ]^x  = lim _n->∞{[1 + 1/(n/x)] ^n/x}^x  e chamando n/x de n’:

lim _n->∞{[1 + 1/n’)^n’}^x  = { lim _n->∞ [1 + 1/n’)^n’}^x  = e^x portanto:

e^x = lim _n->∞[(1 + x / n) ⁿ]^x 

Que também pode ser escrito como:

e^x = lim _h->0[(1 + x / n)^1/h]^x 

Outra demonstração da Derivada da Função Exponencial (d/dx e^x= e^x)

Esta demonstração foi extraída do site:

http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2009/07/demonstracao-derivada-da-funcao.html)

Está dividida em duas partes, para melhor esclarecimento:

a) Para iniciar esta demonstração, vamos primeiramente provar, de uma outra forma, o limite abaixo:

Por Hipótese:

Para a ≠ 1, fazemos uma mudança de variável:

a^x – 1 = t  

Se x tende a zero, então t tende a zero também, pois:

a⁰ – 1 = t

1 – 1 = t

t = 0

Fazemos então:

a^x = 1 + t  

Assim podemos escrever:

Então, tomando o limite inicial:

Aplicamos a mudança da variável x para t: Pela demonstração do limite fundamental exponencial, o limite abaixo tende a e:

Então, aplicando o limite, obtemos:

ln(a) / ln(e) = ln(a) /1 = ln (a)

Como queríamos demonstrar, comprovando a afirmação inicial.

b) Utilizando o conceito de derivada , temos:

Para uma função exponencial do tipo:

Fazemos as devidas substituições:

Provamos em a) que o limite:

Aplicando o limite acima, podemos reescrever ( I ) como:

Portanto, podemos dizer que, se:

Mas, se a = e, temos:

Outra demonstração do Limite Fundamental Exponencial

Esta demonstração também  foi extraída do site:

http://obaricentrodamente.blogspot.com.br/2009/07/demonstracao-derivada-da-funcao.html)

O número e tem grande importância em diversos ramos das ciências, pois está presente em vários fenômenos naturais como por exemplo: crescimento populacional, crescimento de população de bactérias, datação do carbono, circuitos elétricos, entre outros.

Foi John Napier (1550-1617), matemático escocês, o responsável pelo desenvolvimento da teoria logarítmica utilizando o número e como base. O número e é irracional e vale aproximadamente:

e = 2,7182818…

Devido à sua vasta aplicação, a função exponencial f (x) = e^x é considerada uma das funções mais importantes da matemática.

Seja o limite exponencial:

Vamos fazer uma mudança de variável, onde:

Logo, substituindo (2) em (1), obtemos:

Vejam que u→+∞ quando Δx→0+ e que u→−∞ quando Δx→0−. Assim, as equações podem ser escritas como:

Ou simplesmente:

Consideremos o fato que um número:

Sendo válido para todos os valores reais de k e sendo b > 0. (Veja seção de Funções Exponenciais e Logarítmicas com Bases Diferentes de e, Munem – Foulis, pág 445).

Assim:

A prova se dará quando:

Pois, então:

virá como continuidade da função exponencial.

Podemos provar o limite dado em (7). Para isso, façamos:

Assim:

Utilizando-se do teorema dado em (1), podemos estabelecer:

Quando a>0, façamos u=h/a, observando que u→+∞ quando h→+∞. Portanto:

Façamos, então:

Para a verificação, podemos usar noções de série e utilizaremos uma tabela de aproximações:

Então, se:

1/x = u => x = 1/u

Se x→∞, então t→0, logo:

Referências:

[1] Cálculo com Geometria Analítica – Munem – Foulis

BIBLIOGRAFIA

Principles of Corporate Finance Richard A. Breadey and Steward C. Myers
Financial Market and Corporate Finance Mark Griblatt and Sheridan Titman
Fundamentals of Financial Management Eugene F. Brigham
Economics Paul A. Samuelson
Managerial Finance J. Fred Weston and Eugene F. Brigham
The Capital Budgeting Decision – Economic Analysis of Investment Projects Harold Biermam Jr and Seymor Smidt
Valuation – Measuring Manging the Value of Companies Tom Coperland, Tim Koller and Jack Murrin
Analysis for Financial Management Robert C. Higgins
Macroeconomics N. Gregory Mankiw
Calculus and Analytic Geometry Abe Mizrahi and Michael Sullivan
Cálculo com Geometria Analítica Munem – Foulis
Business Analysis and Valuation – Using Financial Statements Krisna G. Papelu, Paul M. Healy and Victor L. Bernard

Continuando as conversas sobre avaliação econômica

Já tendo toda a base matemática e métodos, neste último capítulo quero conversar sobre algumas situações que apareceram enquanto aconselhava sobre avaliação econômica as quais, espero, ajudem a entender a forma de abordagem que se espera dos analistas.

Repito que vejo a Avaliação Econômica como a arte de entender as alternativas às questões trazidas, para em seguida avaliar, a riscos semelhantes, qual a de maior valor econômico.

Fatores Limitantes:

Em alguns momentos fui analista de um negócio que tinha um complexo petroquímico integrado.

Frequentemente um ou mais fatores limitavam a produção e tinham que ser maximizados.

Quando tentamos maximizar um recurso escasso, a primeira questão que surge é se haverá algum impacto de longo prazo nesta maximização como rompimento de contratos com cláusulas punitivas, perda de cliente importante ou outras coisas deste tipo.

A seguir é preciso entender realmente o que muda ao considerarem-se as alternativas. Em alguns momentos faltava um determinado insumo. Por exemplo, faltava energia ou faltava  cloro que abastecia várias fábricas, como por exemplo a fábrica de Óxido de Propeno, a fábrica de Percloroetileno e Tetracloreto de Carbono que eram alternativamente feitos na mesma unidade, a fábrica de Di-isocianato de Tolueno entre outras.

Quando se maximiza resultado no curto prazo é crítico se definir vendas (receitas) e custos incrementais, i.e. as que ocorrem devido ao incremento positivo ou negativo de volume produzido e vendido. Algumas vezes, custos variáveis confundem-se com custos incrementais, mas em outras não.

Algumas das razões da diferença entre custos variáveis e custos incrementais são devidas a cláusulas contratuais. Outras vezes essas diferenças decorrem de detalhes do processo produtivo.

Por exemplo, algum contrato como cláusula de take-or-pay pode tornar o custo incremental de produzir uma unidade adicional nulo em relação ao insumo do contrato. Não produzir uma unidade adicional pode não alterar o custo de compra de um insumo que esteja na variância das condições de take-or-pay. Comprado ou não o insumo terá de ser pago, assim este não deve ser computado no caso da análise incremental, ou seja, do que muda com a decisão. Aquele custo não muda com o incremento da produção. Aliás, aqui cabe um conselho aos compradores, no cuidado que devem ter nas cláusulas de longo prazo. Aquilo que pode parecer proteção ao suprimento, algumas vezes pode se tornar uma armadilha sem saída!

Detalhes de produção ocorrem quando existem subprodutos na produção que geram créditos no caso da decisão de se produzir alguma quantidade incremental do produto principal. Se este produto pode ser vendido, um crédito deve ser abatido do custo incremental que está sendo calculado.

Quando há um determinado fator limitante, o lucro incremental deve ser calculado por unidade deste fator limitante. Assim, a análise facilitará o entendimento de como aproveitar melhor este recurso escasso.

Se o fator limitante for, por exemplo, tempo disponível de algum reator, deve-se calcular o lucro incremental por unidade de tempo deste reator (hora reator) com a finalidade de se maximizar a lucratividade ao usar o recurso limitado.

Este processo, em alguns casos, pode ser bastante complexo e requer profundo conhecimento tanto do negócio quanto da tecnologia de produção.  Algumas vezes me deparei com mudanças que acarretavam efluentes fora da especificação ambiental e, portanto, não podiam ser efetuadas. A complexidade dessas situações podem significar fatores econômicos bem diversos do simples cálculo do custo variável.

Pré-análise no lançamento de produtos novos:

O questionamento pode também não ser relacionado a aspectos incrementais. Algumas vezes o departamento técnico pode solicitar análises preliminares de viabilidade de lançamentos de novos produtos. Nestes casos é comum que o produto seja totalmente novo e se pretenda deslocar com ou sem vantagem tecnológica algum produto concorrente. A compreensão desde projeto deve levar em consideração não só a construção ou alocação de capacidade produtiva, quanto considerar os investimentos e custos tecnológicos administrativos e comerciais, além da curva de introdução do produto novo. Algumas vezes o preço provável já desqualifica o investimento e evita desperdícios já nas fases iniciais do desenvolvimento, outras vezes o produto passa a ser destinado a outros nichos nos quais ele  pode competir. Algumas poucas vezes o projeto parece suficientemente bom para continuar a fases posteriores.

Os questionamentos econômicos podem ser de muitas outras naturezas. Assim o raciocínio econômico e a matemática econômica, aliados ao conhecimento da tecnologia e do negócio devem ser usados com habilidade pelo bom analista.

O bom analista, com o tempo e com a qualidade do seu aconselhamento, passará a ganhar a confiança dos outros participantes do negócio e será frequentemente requisitado para auxiliar na tomada de decisão. Todos se sentirão confiantes e, também com sorte, o negócio prosperará. Algumas vezes as boas decisões econômicas são de se descontinuar algum negócio.

Quarenta anos à procura de matéria prima

A Dow é, há muitos anos, uma das principais produtoras e comercializadoras de plásticos do planeta. No Brasil, a primeira unidade de plástico da empresa foi o poliestireno, através da compra da unidade da Bakol, uma unidade de batelada (processo de massa). Não sei se é folclore  ou verdade, mas dizem que o processo foi “copiado”  por um engenheiro da Coopers, sem autorização, a mando de que se tornou um dos lordes e pioneiros da petroquímica brasileira, o judeu-alemão Ralf Rosemberg, fugitivo da perseguição nazista.

Particularmente eu acredito nesta história, pois a malandragem de Ralf pode ser verificada por um estoque de produtos, cuja contagem foi deixada a um engenheiro recém contratado pela multinacional, mas contada e paga em volume muitíssimo maior que o real já que no meio da montanha de sacarias havia inúmeros caixotes de madeira vazios, fazendo volume.

Em seguida, Ralf, utilizando sua influência nos órgãos reguladores,  conseguiu monopolizar a compra de Estireno por um período,  ganhando ainda mais dinheiro na transação.  Muitos anos depois, truque semelhante foi aplicado na multinacional por outro dos lordes da indústria nacional, curiosamente também de origem judaica, que veio a controlar a unidade de estireno na Bahia.

No caso da Bakol, como contabilmente nada foi verificado, creio que alguma irregularidade também havia em seus livros.

A compra da Bakol pela Dow foi finalizada no início de 1971. Meu pai era funcionário da fábrica de plásticos e passou a ser funcionário da compradora. Ainda naquele ano, influenciado pelo entusiasmo do meu pai com a empresa norte-americana, eu iniciava um estágio na mesma, ainda no primeiro ano do curso de Engenharia Industrial – Química – no Mackenzie. 

Como podem imaginar, a questão econômica do suprimento competitivo de matéria prima, mesmo no Brasil onde as barreiras logísticas e aduaneiras contra competição internacional sempre foi de fundamental importância. 

O carro chefe dos plásticos no mundo foi e ainda é o polietileno. Consequentemente, sua principal matéria prima é também o mais importante produto das centrais  petroquímicas do mundo todo. Trata-se do etileno, produzido em sua esmagadora maioria através do craqueamento da nafta ou de algum subproduto do gás natural (principalmente etano, mas também propano e butano).

Dessa forma, como possuía nos Estados Unidos e Europa, também no Brasil, desde o início dos anos setenta, era sonho de todos os líderes da subsidiária da multinacional ter acesso a esta preciosa matéria prima.

A primeira investida da Dow foi feita na sua unidade de Aratu, através de um projeto associado ao BEFIEX, na época da famosa presidência da multinacional pelo General Golbery do Couto e Silva, antes do mesmo avançar na política brasileira e tornar-se a chamada “Eminência Parda da Ditadura Militar”.  O projeto do início dos anos setenta acabou não sendo finalizado por questões econômicas.

As unidades de petroquímicas brasileiras foram todas implantadas durante o regime militar.

A PQU, em Capuava, estado de São Paulo, foi a central do primeiro desses complexos, seguindo com naturalidade uma indústria de derivados que começara a se instalar na região próxima ao porte de Santos desde a década de cinquenta. A matéria prima foi a Nafta fornecida principalmente pela refinaria da região.

Logo a seguir em Camaçari – Bahia, ainda no início dos anos setenta, surgiu a Copene, central do segundo complexo petroquímico brasileiro, craqueando Nafta fornecido pela Refinaria Landulfo Alves Matarandipe – RLAM.

O terceiro dos polos petroquímicos brasileiro teve uma implantação complexa. O Polo de Triunfo – RS, previsto para ser inaugurado em meados dos anos setenta, partiu finalmente em 1982, em meio a uma grande crise econômica do país. A matéria prima utilizada nas unidades de craqueamento da Copesul também foi a Nafta, mas cronicamente foi deficitário em Etileno em relação às necessidades dos derivados instalados no complexo.

O Brasil, país sem abundância de gás natural de qualidade para a petroquímica, teve seu único polo de craqueamento de gás natural implantado no Rio de Janeiro em 2005, após quase 8 anos de conturbada construção, craqueando uma mistura de Etano e Propano fornecidos pela Refinaria Duque de Caxias.  O polo do Rio é o menor entre os quatro polos existentes no Brasil.

No final de 1999 a Dow adquiriu outro gigante da produção mundial de polietileno. Por cerca de US$8 bilhões as Dow assumiu os negócios e todos os problemas da Union Carbide Corporation. Em fevereiro de 2001 a UCC passou a ser uma subsidiária da Dow, finalizando o processo de incorporação da empresa. Com esta aquisição a Dow passou a ser o maior produtor mundial de polietileno e incorporou muitas tecnologias exclusivas do produto.

A Carbide tinha uma fábrica de polietileno no complexo de Capuava e participação na PQU. Este foi o primeiro acesso indireto a suprimento de Etileno no Brasil.

Em 1984 a Dow havia adquirido da Hoechst um terço da fábrica de estireno no complexo de Camaçari obtendo acesso a estireno e etileno. Entretanto a Dow somente se tornou majoritária na EDN em 1995 quando comprou um segundo terço da Petroquisa. Em 1998 a Dow comprou a Pronor (fábrica de Di-isocianato de Tolueno) no mesmo complexo. Com estas aquisição passou a ter acento nos conselhos da Copene e figurar entre seus controladores com pouco mais de 28% das ações da Norquisa, controladora da Copene, conforme figuras a seguir:

Ainda na região do Mercosur, em 1995 a Dow já havia tomado o controle da unidade de craqueamento de Bahia Blanca, na Argentina e das unidades de Polietileno do complexo, que supriam o mercado do Mercosur, inclusive o Brasil. Entretanto lhe faltava um posicionamento local no maior mercado da região, o mercado brasileiro.

Em 2003, através de uma segunda aquisição, no Rio Grande do Sul a empresa adquiriu uma fábrica de Polietileno e teve mais um acesso limitado ao etileno equivalente a preços internacionais, depois de um conturbado relacionamento com outra figura da petroquímica nacional, também de origem judaica.

Entretanto a empresa ansiava por  acesso a uma grande quantidade de etileno a preços competitivos para instalar uma de suas novas e tecnologicamente modernas fábricas de polietileno. Necessitava ter acesso a, pelo menos, 300 mil toneladas da matéria prima.

Vários estudos se seguiram na busca do acesso a etileno brasileiro. 

Como líder de planejamento na região participei de todos os times formados com este intuito. Como portador de informações privilegiadas não posso relatar detalhes analíticos desta busca. Posso apenas descrever aquilo que era divulgado à imprensa e mercado. 

Posso revelar as curiosidades do processo já que apenas um deles, de conhecimento público, começou as ser implantado.

Os projetos foram tendo seus nomes ligados ao clube de coração dos presidentes da região. O primeiro chamou-se Palmeiras, clube local do torcedor e ex-jogador do Milan que foi presidente regional da Dow no Brasil.

O segundo foi chamado de Hawk, gavião em inglês, na época que a presidência passou a ser feita por um fanático corintiano.

Numa dessas reuniões do grupo Hawk, no início de 2005, quando o líder global de negócios descrevia as necessidades e dificuldades do acesso a etileno local, tendo feito pesquisas sobre a história de todos os polos petroquímicos brasileiros, lembrei-me da Carbide. A empresa, então já subsidiária da Dow, havia sido pioneira no etileno e polietileno brasileiros em sua fábrica de Cubatão. Mas o processo de produção de etileno na época não foi nem Nafta, nem Etano, nem qualquer outro derivado do petróleo. A Carbide, já em 1958,  havia usado etanol como matéria prima na sua pequena unidade paulista.

Ora, em 2005 o etanol no Brasil era a coqueluche do momenmto, se me desculparem o uso desse termo fora de moda! O movimento verde e a competitividade do álcool de cana do açúcar estavam no seu apogeu. Eu não tinha qualquer detalhe da viabilidade atual do processo de etileno a partir de álcool, mas mesmo assim lancei a ideia aos membros do time, alguns com boa compreensão dos aspectos tecnológicos. Para minha surpresa a ideia foi recebida com entusiasmo. No mesmo dia, um brilhante belga nomeou o novo projeto que nascia. Primeiro sugeriu Copacabana, óbvio demais para o Brasil. Depois, ponderando sobre encontrar uma palavra de boa conotação nas várias línguas da multinacional, sugeriu suprimir “Copa”, nomeando definitivamente o projeto por Cabana, que creio tenha sido pioneiro no mundo, quando, em março de 2005, relançou o uso extensivo do processo abandonado de etileno a partir do etanol. Verificamos na época que havia uma ou duas unidades na China usando o processo em regiões remotas, sem acesso ao etileno de origem petroquímica.

Na onda verde mundial, as vantagens do sequestro de carbono por um plástico visto como vilão explodiu mundialmente. Projetos semelhantes pipocaram em várias regiões do mundo e imitado pela concorrência no Brasil.

A Braskem, que se originou da desistência da Dow em participar da concorrência da consolidação do controle da Copene (projeto no qual também participei tendo que omitir os detalhes que conheço com profundidade) apressou-se em produzir etileno e polietileno verdes. Este polietileno é transformado em saquinhos de lixo verdes nos supermercados do país.

O projeto Cabana, de março de 2005, pretendia produzir etileno para sua unidade de polietileno em Cubatão. Em outubro de 2005, entretanto, já durante a gestão de um presidente argentino, torcedor do Boca-Juniors e Corinthians, tornou-se um gigantesco projeto integrado de cana de açúcar a polietileno, com entusiasmado apoio de Liveris, já  CEO da multinacional na época. Em abril de 2006 a Cristalsev junta-se à Dow formando uma JV para o projeto, trazendo o know-how da produção do etanol desde a plantação de cana. No final de 2008, tanto a Dow (mundialmente) quando a Cristalsev (localmente) enfrentaram severos problemas financeiros. Em novembro de 2009 a Dow adquiriu o controle do projeto que já se instalava em Santa Vitória, no triângulo mineiro, com a plantação de cana e início de instalação da fase etanol do projeto.

O projeto seguiu lento devido à crise e devido à forte pressão do câmbio sobre a competitividade do etanol até 2011 quando me afastei do projeto e da empresa, aposentando-me de forma compusória.

Já fora da empresa, como observador e acionista de algumas poucas ações da Dow que conservava, vi muitas mudanças nesse processo.

A Dow, durante a compra da Rohm and Haas, que discutirei mais adiante neste Capítulo, tentou vender 50% do seu negócio de etileno e poliolefinas aos árabes do Kuwait. A venda não se concretizou. Posteriormente os Estados Unidos confirmaram o acesso competitivo  a gigantescas quantidades de gás natural devido a um processo novo de extração (Sheel-Gas). Esta nova condição derrubou o preço do gás e consequentemente do etano, matéria prima do etileno, tornado os produtores de polietileno norte americanos, como  a Dow, novamente muito competitivos.  Esta competitividade havia sido perdida, exceto na logística, para os árabes. Assim, creio, o interesse do projeto Cabana passa de um processo competitivo para processo verde apenas, isto é, de economicamente viável para projeto de interesse puramente ecológico, necessitando de sobre-preço significativo para se justificar.

Minha opinião na época já era de que, nesta nova condição, seria difícil que a Dow seguir adiante com o investimento completo.

Algum dia o produto verde será competitivo a ponto de justificar um projeto desta envergadura. Entretanto as condições da economia brasileira parecem estar afastando este dia para bem longe do horizonte que eu irei observar. Aposentado, deixei de acompanhar tão de perto o desenvolvimento da Dow no Brasil. A empresa, hoje, localmente e mundialmente, é apenas uma sombra da gigante de comodidades petroquímicas. A mudança de rumo foi drástica e definitiva. Permanece ainda no negócio de poliolefinas, mas se desfez de muitos outros.

Nesses quarenta anos descritos de forma sucinta neste capítulo, tento mostrar o esforço de uma grande empresa na tentativa de acesso competitivo a uma matéria para a indústria petroquímica e principalmente de polietileno. Esses quarenta anos coincidiram com os quarenta anos dos meus serviços à Dow. Citei alguns sucessos e muitas frustações. Num setor gigantesco pude presenciar quase tudo o que o homem, o profissional, a ambição pessoal, a política, a astúcia e, por que não, também o acaso podem trazer de bom e de ruim a uma empresa. Acesso competitivo a matérias primas está entre os mais complexos e estratégicos objetivos das empresas. Quando se trata de comodidades este objetivo é essencial, condição fundamental à própria existência do negócio.

Criatividade em Avaliação Econômica (alternativas com elementos restritivos e outros aspectos)

Quando completei 38 anos (já há dezoito anos na empresa e ocupando o cargo de gerente de Avaliações Econômicas da filial da Dow no Brasil) fui transferido para a Área Norte Americana num cargo técnico associado a um dos maiores negócios da empresa, as Poliolefinas.

Minha família e eu chegamos a Midland, no norte do estado de Michigan, na região dos Grandes Lagos. Midland é uma das três cidades servidas pelo pequeno aeroporto denominado Tri-City. Midland é a cidade base da sede da The Dow Chemical Company e de uma Joint Venture dela, a Dow Corning Corporation. Outra delas é Saginaw, a maior das três e finalmente Bay City que é famosa por ser a cidade de nascimento da cantora Madona. Sim Madona é uma redneck (uma caipira do ‘midwest’ americano).

Era dezembro de 1989, início do inverno norte americano. Fomos recebidos pela querida família Figueira, que nos esperava no pequeno aeroporto. Também recebidos pelos primeiros flocos de neve que minha família presenciava ao vivo, desculpem-me a redundância! Nos meses seguintes já estávamos satisfeitos com a novidade.

Eu chegava para uma transferência prevista para cinco anos, que acabou encurtada para um ano e poucos meses devido a uma ótima oportunidade da minha região de origem, a divisão Latino Americana.

Mas esses cerca de dezoito meses de trabalho na divisão norte americana de Poliolefinas, um negócio já bem estabelecido de comodidades, por incrível que pareça, foi muito interessante e me proporcionou um trabalho intrigante e inusitado, algo que de forma alguma eu esperava em um sólido e estabelecido negócio.

A administração matricial da multinacional já era tradicionalmente complexa, com estruturas de lideranças funcionais, geográficas e de negócios. Era um verdadeiro samba do crioulo doido tentar atender a todas as supervisões. A divisão norte americana da Dow havia recém adicionado uma nova complexidade à gerência dos negócios. A novidade era que, além da estrutura de gerência dos produtos ligadas à maximização da lucratividade das unidades produtivas, havia criado uma estrutura paralela para gerenciar mercados, com foco nos clientes desses mercados (uma quarta dimensão). Um dos principais mercados que dividia frequentemente as bolas com os gerentes de produtos das poliolefinas era o que servia às indústrias de embalagens. Esse grupo se autodenominavam PIG, porco em inglês, iniciais de “Packaging Industry Group”, pois atendiam este gigantesco setor norte americano.

As bolas divididas entre as duas estruturas advinha do fato de que alguns dos ativos produtivos de Polietileno estarem a plena capacidade, mas com preços aquém da justificativa de reinvestimento. Esta situação sui-gênesis da produção de polietileno advinha da substituição do processo de Alta Pressão (antigo e com produtos de muito boa qualidade, principalmente a viscosidade no processamento) pelo processo de Solução. Este último produzia polietileno de amplo espectro, desde baixa até alta densidade, com muito, muito menor capital fixo (fábrica). Com o tempo e adições de capacidade deste e outros processos de menor capital, os preço dos polietilenos no mundo foram se ajustando para remunerar estas fábricas, gerando apenas lucros marginas aos processos de alta pressão.

Havia mais um complicador importante! Mesmo marginalmente, não se podia pensar em maximizar cada tonelada de produto produzido! Os produtos produzidos pelos fábricas tinham tempos de processamento muito diferentes! Havia produtos que em poucas horas de reação já estavam acabados. Outros levavam muito mais tempo, chegando ao dobro e ao triplo de tempo dos produtos mais rápidos! A capacidade de produção das fábricas de Alta Pressão dependia de cada um dos produtos produzidos. Assim, os gerentes de produto que e os das fábricas “gostavam” de produzir esses produtos mais rápidos para melhorar os índices pelos quais eram medidos.

Meu colega de vários anos em avaliação econômica era quem eu viera substituir no negócio de Poliolefinas. Conheci Don McKenney, não sei se escrevo corretamente seu nome,  quando eu trabalhava no Brasil, no grupo de produtos químicos. Ele era líder global de avaliação econômica para Soda Cáustica e de alguns derivados de Cloro e discutíamos muitas questões econômicas relativas a uma das unidades do complexo da Dow em Aratu, Bahia. Ele ficou comigo pouco mais de um mês, até sua aposentadoria, e colocou-me a par dos fundamentos do negócio e da sua política. Numa tarde Don me avisou que um dos líderes do grupo de gerentes de produtos de Poliolefinas, Andy Dupont, viria me trazer um problema que estavam enfrentando.  Ele queria saber se nosso time de avaliações econômicas  podia sugerir algo que pudesse auxiliar na solução dos conflitos entre os grupos de gerência de produtos de Poliolefinas e os PIG’s. Como Don estaria se aposentando em alguns dias, ele sugeriu que eu representasse a função na reunião.

Na manhã seguinte conheci Andy Dupont, um brilhante engenheiro mecânico formado na Universidade de Virgínia. Na ocasião ele líder de Grupo de Produtos para Poliolefinas para a região americana. Através de Don eu já entendera os problemas básicos dos ativos de Poliolefinas. Andy, durante nossa reunião, colocou-me a situação conflituosa entre seu grupo e os PIG’s . Os PIG’s estavam prestigiados por Antony Carbone, Diretor da Divisão de Plásticos da Dow Norte Americana, pois ele próprio era um dos criadores do conceito de Gerência de Mercados. Assim, Andy não encontrava argumentos para promover uma conversa técnica entre os dois grupos para o bem da empresa como um todo. Ele achava que muitas das decisões tomadas não estavam corretas e que a empresa estava perdendo muito dinheiro com elas. Não acreditava que os desenvolvimentos de mercado compensariam essas perdas.

Durante a própria reunião eu achei que tinha a metodologia para promover uma conversa profissional entre dois grupos. Os aspectos que eu lhes descrevi foram a base da ideia que desenvolvemos nos meses seguintes.

Os PIG’s investiam no desenvolvimento de mercado para vender toneladas de produtos, dos quais os Polietilenos eram os carros chefes. Esses investimentos tinham um horizonte de crescimento e uma expectativa de lucratividade por algum tempo. Tinham objetivo de avançar alguns pontos no market share e estabilizar a partir dali. O problema era que queriam desenvolver os produtos indiscriminadamente, visando toneladas vendidas, independentemente das limitações de capacidade, incluindo os Polietilenos provenientes do processo de Alta Pressão.

Na época não se falava de lucro econômico e EVA não era uma metodologia em uso. Entretanto,  para o pensamento de avaliador econômico que eu possuía, já sabia que tinha que considerar a maximização dos ativos que não seriam reinvestidos no tempo de validade da análise (lembram-se perpetuidade muito no futuro não vale tanto quanto se imagina!). Entretanto também teria que considerar o investimento em market share e o valor de novas vendas que seriam geradas.

Os investimentos tinham objetivos de toneladas futuras de polietilenos. Os polietilenos tinham horas de ativos por toneladas. Os investimentos tinham dólares gastos e vendas esperadas por toneladas de produtos. Essas toneladas de produtos iriam gerar lucros marginais por um período ou até por uma perpetuidade, fazendo pouca diferença econômica entre elas.  As horas de reator estavam limitadas para alguns produtos ou exigiriam novos investimentos (uniformes) para ampliação. Eu sabia que tinha que olhar para a lucratividade por hora reator, mas devia desconsiderar os investimentos em mercado por tonelada que visavam aumentar o volume vendido. Ou seja, eu tinha que inventar um novo parâmetro de otimização do fluxo de caixa ligado a uma limitação permante.

A solução sugerida e aceita durante a reunião foi de classificar todos os produtos em termos de lucratividade marginal ou variável não por tonelada de produto, mas por hora reator. Hora-reator era o fator limitante para minha análise econômica. A limitação era pelo capital adicional, de médio prazo para ser viabilizado, ou ainda pior, estrutural, pois os preços estavam longe de justificar reinvestimento em Alta Pressão. Mesmo hoje, mais de 20 anos depois, os preços dos polietilenos ainda não justificam novas fábricas de Alta Pressão. Claro, estão aparecendo novas tecnologias desenhando produtos mais próximos das necessidades dos clientes e os clientes têm visto suas tecnologias mudarem para dar conta de viscosidades maiores.

Assim estabeleci um ranking dos produtos com horas de produção, e depois transformei os investimentos de marketing dólares feitos de maneira uniforme por toneladas, em seus equivalentes por hora-máquina (ou hora-reator). Ou seja indicava a diferença entre preço marginal e custo incremental não por tonelada, mas por hora reator.

Meu objetivo era estabelecer a lucratividade relativa de cada um dos produtos considerando os investimentos em marketing. Como os ativos limitados e seus investimentos estavam ‘sunk’ para o futuro próximo ou até impossíveis de serem feitos, como no caso de Alta Pressão, eliminei esta variável da análise. Notem que por hora reator este caixa usado no passado ou a ser usado para uma futura expansão seria idêntica para todos os produtos ao tratá-los por hora-reator. Minha sugestão final foi calcular um NPV do caixa marginal gerado por hora-reator de cada produto dentro de uma vida estabelecida para o investimento mercadológico, inclusive com uma perpetuidade sua estabilização. Este NPV por hora reator de cada produto me pareceu uma boa base para priorizar cada produto na conversa entre os dois times. Isto me permitiu estabelecer um ranking de qualidade dos produtos em termos de adicionar valor considerando todos os aspectos, para cada processo (Alta Pressão, Solução).

Nos meses seguintes, Andy e eu desenvolvemos um modelo inicialmente em main-frame já que os computadores pessoais estavam apenas começando a ser introduzidos no uso das empresas. Tive muita sorte de ter um ‘cliente’ como o Andy. Andy,  gerente de grupos de produtos, que, surpreendentemente, tinha grande experiência em IT, enquanto eu, recém-chegado do Brasil, tinha chegado perto de computadores apenas no curso de Fortran-4 durante minha formação em engenharia.

O resultado do modelo terminado foi apresentado à liderança comercial e aprovado com entusiasmo.  Durante a reunião, nos poucos meses que tinha na nova função, recebi um significativo AWARD. Era como que um ‘Oscar’ do time comercial. Ainda hoje deixo sobre minha mesa meu PIG (porquinho) de bronze como recordação desse trabalho.

Mesmo convidado a continuar definitivamente a trabalhar nos USA, antes de completar um ano e meio na minha experiência norte americana eu estava de volta à sede da nova Área Geográfica estabelecida. Chamaram-me para assumir a diretoria do grupo de Planejamento da ‘Dow Latin America’, com sede em Miami, onde permaneci até que esta sede fosse transferida para São Paulo, pouco menos de 3 anos e meio depois. Mas de Miami ainda acompanhei meu sucessor utilizando o modelo e a solução desenvolvida para o problema que me foi apresentado por um longo tempo.

Algumas vezes a técnica deve ser adaptada com criatividade para responder certas questões! Obviamente outros avaliadores poderiam encontrar outras formas de classificar os produtos, com maior ou menor rigor. O conceito de EVA poderia ajudar no processo.  Creio, entretanto, que as respostas dessas análises seriam bem  semelhantes.

Comentários sobre a aquisição da Rohm and Haas pela Dow

Em primeiro lugar quero deixar claro que o que será comentado a seguir não se baseia em dados internos da empresa obtidos pela minha posição como funcionário. Baseiam-se em fatos que podem ser obtidos por qualquer acionista da The Dow Chemical Company (TDCC). Neste papel, de acionista que  sou e continuo sendo no momento que escrevo, e como avaliador econômico, faço a análise que segue de forma não tão analítica, mas conceitual.

Assim, escolhi comentar a compra da “Rohm and Haas Company” pela Dow Chemical Company,  pela riqueza de elementos que compuseram esta intrincada transação.

Para quem acompanhou as promessas dos vários CEO’s da gigante empresa de multiprodutos americana, a busca da aquisição da ROH não soou como novidade. Vários deles, inclusive o CEO responsável pela transação, almejavam reduzir a forte dependência da multinacional ao mercado de comodidades, ampliando sua representatividade em especialidades.

Sendo a Dow uma competente produtora e comercializadora dessas comodidades, qual seria a motivação dessa quase obsessão?

Para tanto, à luz dos temas que já discutimos nos capítulos do desenvolvimento técnico, vamos ver quais as formas de adicionarmos valor em uma empresa.

O valor de uma empresa é dado pela sua capacidade de gerar fluxo de caixa futuro descontados pela sua taxa de custo do capital. Este valor da empresa tem que ser dividido entre os donos do capital. Os que recebem com menor risco o seu retorno são os seus credores e os que recebem com maior risco, pois só recebem depois de pagos os credores ano a ano, os seus acionistas. Mesmo entre os acionistas existe uma hierarquia derivada das várias classe de ações (ordinárias, preferenciais x, preferências y, etc.).  O valor da ação de uma empresa para uma acionista no mercado depende da expectativa dessa geração de caixa descontada pela taxa de custo do equity (capital próprio, do acionista) dessa empresa, que até pode variar para cada tipo de ação, pelo risco.

Os acionistas terão uma expectativa de geração de caixa da empresa em função das condições de mercado e da volatilidade com que essas expectativas vão sendo concretizadas ao longo da história. Assim, um mercado cíclico como o mercado de comodidades, que apresenta um ou dois anos de vacas gordíssimas, seguido por uma série de anos de lucros medíocres  terá uma taxa de desconto maior devido a esta incerteza, este risco. Isto foi visto no capítulo IV.

Heis aí uma das razões dessa obsessão dos vários CEOs da TDCC. Baixar o Beta da Dow ampliando o mercado de especialidades e reduzindo o de comodidades para, com a mesma expectativa de fluxos de caixa aumentar o valor de ação por uma menor taxa de desconto, derivada de uma menor expectativa de volatilidade (ou risco).

Entretanto realmente monetizar valor com este tipo de aquisição é mais difícil do que se pode imaginar. Ou seja, a ideia de ampliar as especialidades é boa, fazer isto através de aquisições é complicado. Vou tentar discutir o porquê da dificuldade a seguir.

Os vendedores de empresas como a ROH tem sua expectativa de geração de fluxo de caixa relativa ao seu negócio. Como o seu negócio de especialidade gera resultados com crescimento estável e menor risco devido a muito menor  volatilidade, a sua taxa de desconto de capital ou equity é relativamente muito menor que as empresas de comodidades. Além disto, para trocar esse valor de fluxo futuro por um valor presente pago por um comprador como a TDCC eles irão desejar receber um prêmio em relação a suas expectativas. Se houver mais de um pretendente a esta aquisição, como foi o caso da aquisição da ROH, pois também a BASF estava interessada na empresa de especialidades, então este prêmio desejado pode ser bastante significativo.

Um aspecto negativo de quase todas as aquisições está no fato de que,  nas transações entre empresas, costuma haver uma significativa antecipação ou até aumento de impostos a serem pagos, aumento este devido a geração de lucro na venda da empresa. Somente este aspecto já faz com que as duas empresas associadas tenha menor valor que as duas seguindo separadas. Isto é, parte do valor pago pelo comprador vai aos governos, destruindo valor das empresas.

Portanto é preciso criar ainda mais valor na implantação de um negócio para compensar este aspecto fiscal, mesmo que seja apenas uma antecipação fiscal. Frequentemente, devido às leis fiscais, há um aumento de impostos definitivo.

Vamos então analisar a formação ou destruição de valor nesta aquisição em particular:

• A Dow preparou-se para a aquisição diminuindo muito sua dívida, dessa forma destruindo um pouco de valor por ficar sub alavancada. Uma empresa nessas condições paga mais impostos sem que sua taxa de equity (patrimônio líquido) seja suficientemente compensada pela diminuição do risco e redução desta taxa. Houve uma pequena destruição de valor normal nessa condição de pré-aquisição.
• A Dow negociou a venda de parte da sua posição de comodidades em condições relativamente positivas de mercado já que os próximos anos pareciam ser os anos de pico das mesmas. O negócio seria feito através de uma JV com o governo do Kuwait, na qual os negócios de Etileno e Poliolefinas da Dow seriam aportados. A Dow receberia cerca de US$ 7,5 bilhões de dólares nesta transação que deveriam ser utilizados para pagar parte da ROH. Esta transação poderia gerar algum valor para a Dow caso fosse concretizada. Mas veremos que não foi assim.
• A Dow no pós-aquisição pode gerar sinergias na administração e comercialização da ROH, reduzindo o custo operacional,  gerando valor. Precisam ser descontados os custos de desligamento dos funcionários sobrantes através de um Plano de Desligamento Voluntário. Este é um aspecto real e positivo, talvez o principal para justificar aquisições.
• Quando dois negócios de duas empresas são combinados em uma delas existe uma importante parte deles que é perdida para a concorrência gerando uma perda de valor. Ou seja, em aquisições, 1 mais 1 resulta em algo como 1,7 ou 1,8 volume de vendas. Infelizmente clientes gostam de concorrência!

No caso da aquisição da ROH pela Dow, além desses fatores planejados e conhecidos ocorreram outros que foram de extrema importância na criação ou destruição de valor nesta aquisição. Estas foram surpresas que poderiam ser esperadas, mesmo que remotamente, porém devido ao seu aspecto catastrófico (lembram-se do meu comentário sobre a arte de entender alternativas?) precisariam ter sido tratadas de forma mais responsável, em minha opinião. A Dow correu mais risco do que deveria ou poderia. Vamos analisá-los:

• No primeiro semestre de 2008, a Dow e ROH comprometerem-se legalmente nos Estados Unidos (negócio fechado e preço estabelecido). No final de 2008 ocorreu a grande crise, que teve como gatilho a falência do banco de investimento Lehman  Brothers derivado do estouro dos créditos de risco (subprimes). Não cabe aqui analisar a crise, mas apenas saber que ela já se insinuava desde 2007, mas que seguida ao irresponsável aumento dessa bolha de crédito e da inadequação das instituições americanas quanto à sua solução, o resultado foi devastador para a economia mundial. O índice Dow Jones, por exemplo, caiu de 13 mil  para menos pontos para 7 mil pontos destruindo quase metade do valor das ações em apenas um ano. O índice de preço das comodidades caiu de pouco mais de 215 para 98 pontos. O índice de valor de energia caiu de 250 para 91pontos. Este efeito devastador fez com que o governo do Kuwait, unilateralmente, desistisse do negócio com a Dow, deixando a multinacional americana sem recursos financeiros para pagar o negócio já fechado com a ROH. Este foi o grande erro da Dow, o não condicionamento entre os dois negócios não poderia ter sido feito, mesmo que para tal, a oportunidade fosse perdida para a Basf. Não se pode querer saltar um precipício só porque do outro lado se pensa estar o paraíso. É melhor procurar uma ponte, mesmo que ela não exista. Deve-se deixar o salto  para os imprudentes. No final é melhor ficar do lado de cá do precipício do que correr o risco de se espatifar lá embaixo. Na ânsia de chegar do outro lado, a Dow saltou.
• Durante a queda, Dow até que tentou, mas não conseguiu desfazer o negócio de US$ 15.3 bilhões com a ROH e entrou em uma crise de caixa com sérios riscos de falência. A solução foi dramática e avassaladora. Um empréstimo ponte de US$ 12,5 bilhões, obviamente com juros relativamente muito mais altos dos possíveis em condições menos dramáticas foi fator importante na destruição de valor do negócio.
• Além disto foram emitidas US$ 4 bilhões de ações preferências com dividendos (yields)  bastante mais elevados que os dos acionistas ordinários, fator de diluição dos acionistas ordinários, outro fator importante de destruição de valor deste negócio. Essas ações perpétuas foram compradas 75% por Warren Buffet e 25% pela autoridade do Kuwait, através da Berkshire Hathaway.
• Ainda mais, foram emitidas ações ordinárias de US$2,5 bilhões para a The Rohm and Haas Family Trust, controladores e vendedores da ROH, não perpétuas, mas também em condições muito vantajosas de dividendos, destruindo mais valor na transação.
• A Dow entrou com um processo de indenização contra o governo Kuwait e finalmente entrou em acordo, anterior ao final da arbitragem, para receber US$ 2,5 bilhões, que amenizaram a destruição de valor pela compra da ROH. Porém isto não veio a tempo de controlar a crise financeira que descrevemos. A Dow ficou a beira da insolvência, realmente a dias da insolvência. As ações da Dow caíram de cerca de US$41,00 em 13 de maio de 2008 para US$7,00 no dia 13 de maio de 2009. Quase virou poeira. Depois conseguiu se reerguer, mas não sem destruir valor. Imaginem quanto perderam os acionistas mais assustados que venderam sua posição no início de maio de 2009!

Em linhas gerais, avalio que este negócio gerou os seguintes ganhos e perdas para o acionista que teve sangue frio e ficou com as ações da empresa:

• A ROH foi vendida com um prêmio muito significativo. Como referência,  cito um artigo de Jessica Hall, publicado pela agência Reuters em 10 de julho de 2008, onde a analista comenta que a ação da ROH subiu 64% no dia do anúncio do fechamento de negócio. Veja isto significaria um prêmio de cerca de 6 bilhões de dólares. Outras comparações que são feitas é de que este valor seria 10,4 vezes o EBITDA, comparados com os típicos 6,7 vezes do setor, confirmando esse Prêmio astronômico.
• Claramente houve um ganho de US$2.5 bilhões conseguidos do Kuwait, através do acordo durante a arbitragem. Isto foi mais sorte que planejamento.
• O empréstimo ponte a custos maiores que o mercado devem ter destruído pelo menos US$ 2 bilhões.
• Os dividendos adicionais nos ações preferências custaram pelo menos US$ 2 bilhões em valor.
• A sinergia alegada durante a compra seria de pouco mais de US$1 bilhão por ano. Se realmente realizada geraria cerca de US$10 bilhões em valor menos o pacote de demissões que pode custaria cerca de US$1 bilhão, gerando ainda ganhos de US$9 bilhões. É difícil comprovar se essa sinergia de fato ocorreu. Eu acredito que ocorreu apenas parcialmente.
• A união dos negócios sempre gera perdas substanciais nos volumes totais para a concorrência. Se essas perdas forem de 20% do volume da ROH, o que eu acho razoável, então significariam  cerca de US$ 500 milhões por ano ou US$5 bilhões em valor destruído.

Assim, se somarmos as estimativas acima chegaríamos a uma destruição de valor entre 4 e 6 bilhões de dólares, além de uma estrutura de capital alavancada demais e mais cara que o mercado, destruindo um pouco mais de valor no todo da nova empresa, a Dow já com a ROH nela.

Outra forma de se olhar para a destruição ou criação de valor em uma aquisição é comparar seu efeito no valor das ações da compradora, comparados com seus pares, desde pouco antes do negócio até depois dele já estabilizado nela. Seguirei comparando com a Dupont, mas poderíamos fazê-lo com outras empresas do mesmo ramo. Vejamos:

A ( Figura 75) mostra que se a ação da Dow tivesse o comportamento médio do índice Dow Jones, desde janeiro de 2008 até Outubro de 2013, ela deveria representar aos acionistas aproximadamente US$ 4 bilhões a maior. Se a comparação fosse com a Dupont, que atua no setor, a perda pós-aquisição da ROH teria sido de US$8 bilhões. Esta análise das ações ratifica  a outra mais detalhada.

Como veem fatores planejáveis, fatores exógenos e a própria sorte pedem atuar num negócio deste vulto. Uma gigante internacional quase terminou falida no processo. Um aspecto de sorte que de certa forma ainda mascara a análise da figura acima foi o fato do desenvolvimento da extração do shell-gas nos Estados Unidos, fazendo com que os preços do etileno caíssem relativamente ao resto do mundo, beneficiando o negócio de comodidades da Dow, que o Kuwait não adquiriu.

Aprendi com os anos que esta obsessão levou a empresa a enormes perdas (inclusive a que descreverei). Eu acho que ao tentar abandonar linhas e negócios que sempre foram bem e eficientemente conduzidos pela empresa para aventurar-se em linhas menos cíclicas comprovou-se uma ideia estúpida. No meu diagnóstico listo duas razões principais. A primeira é que ao comprar um negócio que vem crescendo bem e que tem pouca volatilidade na sua rentabilidade, o valor dele incluirá este fato. Ao vender um negócio cíclico com risco potencial tem também este aspecto na sua valorização. Tende-se a pagar um bom negócio um pouco mais do que ele vale e vice-versa. Nenhum negócio bom será bom por muitos anos. Mesmo que continue bom é provável que a perda de novidade e a maior concorrência arrastem-no à vala comum. Outro aspecto é que ser eficiente no negócio que se tem é fundamental. Muitas vezes certos negócios não são adequados à forma de gerenciar da empresa. Mudança de cultura é algo complexo e demorado. A tendência das empresas que adquirem estes novos negócios é de um gerenciamento menos eficiente do que tiveram seus donos anteriores

Por último e talvez o mais complicado de se analisar, temos os vários egos dos indivíduos que participam da tomada de decisão sobre esses grandes negócios. Algumas vezes ele ou ela é um único indivíduo. Muitas vezes esses indivíduos chegaram a cargos elevadíssimos, mas não são preparados para entender de finanças corporativas o mínimo suficiente. Agem por intuição e através de sua postura autoritária acabam por intimidar aqueles que estariam preparados para ajudá-los nesse processo. Esses indivíduos poderosos só ouvem o que lhes interessa,  ou pior, conseguem acercar-se apenas dos que dizem o que querem ouvir, seja por interesse ou medo. Querem por que querem. São eloquentes e contagiantes. São verdadeiros tanques de guerra na sua ânsia de produzir grandes feitos e deixar sua marca na história. Para azar do investidor, muitas vezes essas marcas vão de um olho roxo, quando o desastre é pequeno, até o famoso “R.I.P.”! A Dow chegou próxima desta última nesta desastrada aquisição.

Existe outro aspecto que me intrigou bastante. Depois deste desastre os líderes responsáveis por ele foram mantidos na direção da empresa. Como isto ocorreu?

Eu acredito que talvez pelo fato de que os maiores acionistas da Dow serem grandes fundos com seus próprios CEOs com indecifráveis interesses políticos. Que outro fato justificaria manter uma direção que destruiu valor e correu um risco descomunal? Porque tanta paciência com  tanta incompetência? Estas respostas fogem à análise de um simples avaliador econômico.

Fluxo de Caixa Operacional e Variáveis da Valorização de um Projeto

Na Parte I comentamos que as variáveis elementares da apuração do valor e análise da qualidade dos projetos são o fluxo de caixa (que envolvem geração e uso de caixa), além do fator tempo. Tudo isto sujeitos e medidos segundo o custo ou alternativa de investimento dos investidores do capital da empresa e o custo da dívida da empresa. 

De uma forma genérica os investidores de capital são classificáveis entre os investidores de capital próprio ou “equity” que participarão dos riscos e recompensas marginais da empresa e que direta ou indiretamente tomam as decisões da empresa; e os investidores através de dívida, que recebem uma recompensa  pré-estabelecida, prioritária em relação aos investidores em capital próprio e, em princípio, independente da existência de lucro acumulado.  Outra característica do investimento em dívida é o fato de sua remuneração ter um subsídio fiscal. Os juros, mas não a amortização da dívida, na empresa que toma esta dívida, são custos dedutíveis da base de cálculo do imposto de renda, fato que não se dá na distribuição de dividendos aos acionistas.

Tanto o investimento em capital próprio, quanto em dívida, podem ser feitos por uma grande gama de alternativas. Investidores em capital próprio podem adquirir ações ordinárias, preferenciais, também existem as opções e outras formas de investimento direto. Do lado da dívida também há variações como letras de crédito, dívidas garantidas, dívidas conversíveis em ações, e outras. Entretanto as características de princípio de distribuição da recompensa e principalmente subsídios fiscais persistem, caracterizando-as. 

Escolhi apresentar esses elementos de uma forma diferente da tradicional apresentação de cada elemento do fluxo de caixa e sua valoração.

Decidi partir de fatos de um projeto (simplificado para facilitar a apresentação dos conceitos), em uma empresa, para paulatinamente apresentar seu impacto, cálculo de  diversas maneiras, com o objetivo de compreendê-los na sua essência. Assim mostraremos como esses fatos se traduzem  na contabilidade; faremos a apresentação das principais medidas econômicas do projeto, e mostraremos como, enfim, como funciona a matemática da avalição da qualidade de um projeto em uma empresa.

Projeto Simplificado em uma Grande Empresa

Nosso projeto, com modelo anexo em CD, tem as seguintes características:

Trata-se de uma empresa/negócio com uma fábrica muito simples que foi absorvida em 31 de dezembro de 2009 por uma grande empresa. Este projeto possuía as seguintes características (Imaginemos que em milhares $ e volumes em milhares de unidades):

1. Contas a receber de $ 600.
2. Contas a pagar de $ 90.
3. Imobilizado de $ 4000 depreciáveis uniformemente em 10 anos.
4. Estoques $ 50.
5. Imposto de renda de 34%.
6. Irá “distribuir” ou disponibilizar “dividendos”  sem limite relativo ao lucro gerado, pois se trata de um negócio dentro de uma empresa maior. Ter cuidado para não zerar o caixa (o modelo o permite)
7. Dívida inicial $ 1200.
8. A gerência decidiu manter um Balanço e Demonstração de resultados proforma para acompanhar e analisar a qualidade do mesmo.
9. Esta fábrica transforma uma única matéria prima em um único produto acabado com as seguintes características (custos padrões definidos pelo contador de custos):

Imaginemos agora que em 2010 ocorrem os seguintes fatos:

Na (Figura 46.) os itens em azul são imputados conforme ocorreram ou ocorrem, enquanto que os itens em preto são calculados a partir dos itens azuis.

A seguir, na (Figura 47.), sumarizo alguns movimentos reais de caixa que ocorrem em 2010, função das variáveis anteriores:

Na (Figura 48) mostro como os elementos da (Figura 47) tiveram origem nos fatos descritos na (Figura 46). Mostro também como o Caixa Acumulado no ano de 2010 (muito pequeno devido à distribuição de ‘dividendos ou caixa disponível’ internamente na grande empresa) se origina nesses fatos (acompanhem no modelo do CD, usando em fórmulas do Excel, rastrear dependentes ou rastrear precedentes):

Tanto o custo das matérias primas como a venda dos produtos compõe o fluxo de caixa de forma líquida (excluídos seus impostos proporcionais, tipo ICMS, IPI, PIS e COFINS aqui no Brasil). É praxe na contabilidade apresentar primeiramente às vendas brutas com impostos, esses impostos, e, em seguida, as vendas líquidas. No caso das Matérias primas e insumos (por exemplo, utilidades como energia elétrica) eles são apresentados também líquidos dos seus impostos compensáveis, impostos sobre vendas. A razão disto é que em cada elo da produção os impostos desse tipo que veem incorporados no preço das matérias primas são compensáveis da conta a pagar desses mesmos impostos sobre as vendas dos produtos finais, pagando a empresa apenas a diferença. Na (Figura 49) seguem os Balanço e Demonstração de Resultados resultantes dos fatos e premissas acima:

Vejamos agora como alguns desses valores foram gerados. Primeiramente as posições iniciais (1/1/2010 ou 31/12/2009) dos Ativos e Passivos:

Em seguida vejamos como a Demonstração de Resultados foi gerada:

Chamo a atenção para os cálculos mais complexos, derivados do princípio de manter estoques de produto acabado em  Valores Padrão (Estimados ou Standards). Lembro aos analistas, como Engenheiro Químico que sou, da Lei de Lavoisier, que também se aplica à contabilidade. Custo e receita gastos ou ganhos não se criam, nem se destroem, pela contabilização. Assim, se um custo ocorreu e apenas parte foi (via custo standard) despejado nos estoques, o que não foi, vai imediata e inexoravelmente à Demonstração de Resultados. Portanto ao Passivo do Balanço (como lucro negativo ou custo). Caso a estoque tenha ido mais que 100% dos custos incorridos, então um lucro é criado nas demonstrações de resultados. As figuras de Variação de Volume, Variação de Preço, e outras numa contabilidade mais complexa, são o resultado dessa Lei de Lavoisier.

A seguir, no seu detalhe, mostro a origem das Variações de Preço e de Volume. Notem que enquanto a variação de volume é pura, na variação de preço existe certo componente da variação de volume devido ao preço. Há outra forma que faz de maneira inversa.

A variação de volume é dada pela diferença entre volume produzido e capacidade multiplicado pelo custo fixo padrão. A variação de preço é a diferença entre custo real e custo padrão menos a variação de volume.

Em seguida, nas (Figura 53) e (Figura 54), vejam como ficam as posições de final de 2010, em função da posição inicial e dos fatos e premissas do projeto em duas partes. Primeiramente os itens mais diretos:

E, em seguida, na (Figura 55) o cálculo da posição de estoque e contas a pagar em 31/12/2010:

No exemplo consideramos a ‘distribuição’ quase todo caixa gerado à grande empresa. Na (Figura 56), contabilmente, as demonstrações de origens e uso, ou fluxo de caixa, apresenta o detalhe:

Importante:

O modelo em Excel (linking financial reports in Portuguese Ago2013.xls) que segue no CD não está congelado para permitir que o usuário teste o efeito de mudanças nas variáveis e também possa acompanhar seus efeitos nos resultados e parâmetros de valor do projeto através da ferramenta do Excel “Formulas / Rastrear Precedentes ou Rastrear Dependentes”. Portanto sugiro salvar o modelo origina em um arquivo seguro antes de usá-lo, já que as explicações do livro seguem os números originais, facilitando sua leitura.

Definição de Lucro Econômico

O lucro contábil não é medida completa da qualidade de um projeto, pois falha em incluir nessa medida muitos recursos que ficam aplicados no negócio, como os estoques, como as contas a receber devido a prazos dados para o pagamento de fornecedores, como o investimento nas fábricas, automóveis, matérias de escritório, etc.. Assim, foi criado um conceito para melhorar essa medida chamado Lucro Econômico (EP).  O lucro econômico faz parte de uma teoria chamada EVA (Economic Value Added). Vamos descrever sua matemática e utilizá-lo na medida da criação (ou não) de valor no projeto exemplo que estamos analisando.

Para tanto, o primeiro passo é definir o capital que foi investido para gerar os resultados futuros, no caso os resultados do ano de 2010. O capital investido pode ser tomado pelo lado do passivo (como a Dívida + Patrimônio Líquido). Mas como nem sempre se faz uma contabilização completa dos projetos, com balanço e tudo mais, quase sempre se faz a medida pelo seu complemento no balanço (Soma das necessidades em Imobilizado + Capital de Giro). Uma contabilização mais complexa gera alguns outros elementos como realizáveis e exigíveis, que estamos ignorando nessa explicação mais objetiva.

Definido (ou medido) esse investimento, devemos aplicar o retorno esperado ou custo médio do capital (WACC) da grande empresa, e não deste projeto específico, sobre este capital investido no projeto. O motivo é que o investidor é a grande empresa, e é ao seu custo de capital que o projeto se sujeitará como parte dessa grande empresa. Um projeto, dentro de uma grande empresa, no limite, pouco altera as variáveis que definem o custo de capital, ou, se as alterarem, ainda pode a empresa balancear sua alavancagem para voltar à estrutura de capital inicial. Apresento duas formas matemáticas de calculo do Lucro Econômico, na (Figura 57):

Notem que estou usando nomenclatura americana de certas medidas de lucratividade,  pelo seu uso generalizado no nosso país:

EBIT = Lucro antes de abater juros sobre dívida e imposto de renda

NOPAT = Figura Teórica que parte do Lucro Antes de abater o custo da dívida (juros) multiplicado por (1- taxa de imposto de renda da empresa).

Custo do Capital = Capital Investido no início do ano multiplicado pelo WACC da grande empresa (no caso de fluxos discretos).

O Lucro Econômico positivo significa que nesse ano foi gerado valor adicional ao custo do capital esperado. O valor presente de uma série de Lucros (ou Prejuízos) Econômicos, durante a vida de um projeto, descontados ao WACC da empresa, nos dá o Valor Adicionado no momento do início da operação, por esse projeto, à EMPRESA. É necessário ressalvar que no final do projeto, ou o investimento é totalmente depreciado ou se recupere o valor residual investido, talvez capital de giro. Caso contrário se faz uma correção pela perda de parte do montante investido.

Fluxo de Caixa Operacional

A forma tradicional de avaliar um projeto para uma empresa é através de fluxo de caixa investido e gerado por esse projeto. Temos os elementos necessários para fazer esse cálculo para o não de 2010 do nosso projeto exemplo. Segue na (Figura 58) o cálculo do fluxo de caixa operacional (antes dos juros e dividendos, mas depois do imposto de renda sem escudo dos juros) líquido do ano 2010:

F

Note que do valor de Fluxo de Caixa Operacional Líquido de $1734 da (Figura 58), é possível se chegar ao mesmo caixa acumulado no ano de $2,72. Basta incluir-se as saídas não operacionais, lembrando-se de considerar o escudo fiscal (subsidio ligado aos juros como juros x IR%). Todos os passos seguem na (Figura 59):

Criação de Valor de um Projeto em uma Empresa

Nos dois itens anteriores entendemos a construção do Lucro Econômico de 2010 e a construção dos Fluxos de Caixa Operacionais (no começo de 2010 quando a empresa assumiu o Projeto e durante 2010). Uma visão de lucro econômico anual positivo  de um projeto é um bom sinal, entretanto esta visão momentânea não garante que ele será um projeto criador de valor, e, consequentemente desejável.

Um projeto aceitável economicamente precisa criar valor acima do retorno esperado dos investimentos feitos nesse projeto, ao longo da vida do projeto, levando-se em conta todos os aspectos de incertezas e as variáveis da matemática financeira, incluindo as consequências do fim de sua vida. Caso essa vida possa ser prolongada com manutenções e reinvestimentos periódicos, então o fluxo pode ser aproximado de uma perpetuidade. Às taxas de investimento da realidade, por exemplo, 10% ao ano, inflação já descontada, e sem crescimento do anual do fluxo, exceto pela a inflação, um fluxo de 30 anos vale mais que 94% da perpetuidade do mesmo fluxo. Afinal, quem pode esperar muito mais que isto na finitude da nossa vida, não é?

Vamos imaginar, depois de cuidadosa análise, que esperamos que o projeto vá apresentar estabilidade de vendas, preços, custo, despesas e tudo mais, ao longo de 12 anos de sua vida (entre 2010 e 2021). Ao final do ano de 2021, o negócio cessará sem custos (o que normalmente não ocorre) e, no último dia de 2021, se recuperará o investimento em capital de giro. Imaginemos, também, dentro da grande empresa, que o escudo fiscal da amortização do restante do imobilizado no projeto ainda a ser depreciado será totalmente aproveitado. Vamos assumir também que, por algum motivo, não haverá dispensa de pessoal, portanto os custos dessa dispensa serão evitados. Não haverá necessidade de reparos ambientais e a empresa que aceitou fazer o desmantelamento da fábrica, o fará em troca do material. O departamento fiscal garantiu-nos também que não haverá custos fiscais devido a esse desmantelamento (também algo pouco provável no Brasil). Claro que as premissas foram simplificadoras, já que nosso objetivo é entender o processo. Mas procurei lembrar alguns dos aspectos importantes que o avaliador não pode deixar de verificar.

Seguindo este processo de ver o todo para depois analisar detalhes, apresento-lhes, em planilhas de Excel,  algumas alternativas matemáticas da avaliação com premissas mais complexas:

Vejamos o projeto ao longo desses 12 anos de vida

Na (Figura 61) apresento o cálculo do valor criado pelo projeto ao longo de sua vida, como valor presente do Lucro Econômico descontado ao WACC da empresa que o possui. Neste cálculo são excluídos juros e calcula-se o custo de capital baseado no total de imobilizado e de capital de giro necessários à manutenção do negócio em cada dos anos seguintes. Chamo a atenção para o que ocorre no final de 2011, quando a empresa encerra atividades, desmantela a unidade fabril, e lhe é permitida a total depreciação, para efeitos fiscais, do restante não depreciado do imobilizado líquido (liquido das depreciações que já ocorreram) acumulado até então. Com base nos fatos e nas expectativas futuras, o avaliador calcula que o projeto tem potencial de criar $7409 para a grande empresa, mensurado como valor presente, descontado a WACC, do lucro econômico gerado ao longo da vida do projeto. O valor exato, com mais algarismos significativos que as estimativas permitem calcular, é apresentado dessa forma somente para provar a matemática entre os vários métodos é precisa. Notem que no último ano o imobilizado foi totalmente depreciado e o capital de giro recuperado.

Na (Figura 62) apenas lembramos que o Lucro Econômico também pode derivar de Vendas menos Custo Econômico, e taxa de Imposto de renda. O cálculo do valor criado é idêntico ao feito na (Figura 61).

O método de avaliação apresentado na (Figura 63) parte do NOPAT (lembre-se que o NOPAT deduz um imposto de renda teórico, como se não houvesse dívida, pois a dívida e o escudo da dívida fazem parte do cálculo do WACC) para calcular o fluxo de caixa operacional (exclusive de juros). O valor criado então é feito pela diferença entre o NPV @ WACC  desse fluxo de  caixa operacional, e o investimento inicial em Imobilizado e Capital de Giro. Convido-os a conferir que o cálculo do fluxo de caixa em 2010 coincide com o que fizemos nas demonstrações anteriores.

F

O método da (Figura 64) é mais trabalhoso, mas apresenta uma reorganização importante dos elementos da avaliação que podem ser muito voláteis ao longo do tempo. Como a depreciação para efeitos fiscais ocorre  de forma muito distinta da real erosão do ativo ao longo da sua vida útil, as variáveis como custo do capital, fluxo de caixa, lucro econômico e outras derivadas delas apresentam uma grande variação ao longo do tempo. Com a volatilidade,  estes elementos econômicos perdem a capacidade de poder apresentar medida de qualidade do negócio em determinado momento.  O método apresentado na (Figura 64) nos traz essa (re)uniformização das variáveis econômicas para este projeto específico. Estabelecida a duração da vida do projeto, essa (re)uniformização é feita através do cálculo do valor presente de cada uma dessas variáveis que sofrem este distúrbio, seguida de transformá-los em anuidades fixas durante a vida do projeto. Algumas vezes interessa uniformizar o custo econômico unitário de um determinado produto, para contrapô-lo ao preço deste mesmo produto.

Essa nova forma, permite também eliminar uma eventual aparência de criação de valor no início do projeto por uma excessiva contribuição do escudo fiscal da depreciação.

Apuração de Criação Valor de um Projeto em uma Empresa com Fluxos Contínuos

A Matemática Financeira usada no exemplo anterior foi baseada em fluxos discretos. Quando assim feito, o custo do capital de cada ano foi calculado para cada ano como sendo a taxa WAAC real multiplicada pelo Book Capital do ano anterior.

Para explicarmos as mudanças necessárias quando tratamos de Fluxos contínuos vamos utilizar dois fluxos equivalentes em termos de valor a um determinado WAAC, sendo um com fluxo anual discreto (assumido ao final de cada ano) e um fluxo anual contínuo indicado por sua soma monetária em cada ano.

Seja o fluxo discreto da (Figura 65) abaixo com NPV do EP = $20. O investimento de $1000 foi feito no final do ano zero ou na data zero do ano 1. As vendas, custos, depreciação, impostos e até o custo de capital (CC calculado pelo WAAC real de 10%, multiplicado pelo Book Capital do ano anterior) assumem-se todos ocorrendo ao final de cada ano.

O NPV(EP) é a soma dos EP de cada ano descontados ( EP₀ = EP_n  /(1+10%)ⁿ ) até a data zero

Vamos Imaginar anuidades contínuas de cada um dos elementos do fluxo acima equivalentes aos mesmos a uma taxa real de r=10% aa, que produz uma taxa nominal TN=9,53%aa (TN=ln(1+r) ).

Para calcular uma anuidade contínua a partir de um valor discreto no final do ano e de uma taxa nominal TN, usamos a seguinte fórmula:  A = FVt_n × TN/(e^TN×n – 1)

Apenas deve-se ter cuidado para se definir o custo de capital como anuidade. Este é o custo de capital a WAAC de 10% sobre o Book Capital, todo ele já transformado em anuidades.

F

Desta Forma, o exercício da (Figura 66)  poderia ser resolvido como fluxos contínuos, mas com resultados  diferentes pois vendas de $6750 ocorridas uniformemente continuas durante o ano são bem distintas de vendas discretas de $6750 ocorridas no final do ano. Portanto o exercício a fluxo contínuo é bem mais próximo da realidade que o exercício com fluxos discretos.

Como ele ficaria:

No modelo em CD vou fazendo  a checagem dos resultados entre fluxos discretos e fluxos contínuos e comprovando sua equivalência.

Sumário das principais variáveis na avaliação de projeto

Custos variáveis e custos incrementais

Custos variáveis são custos que variam com a produção, como o custo das matérias primas, das utilidades usadas na produção como a água de processo, a eletricidade para operar motores e outras máquinas ligadas ao processo produtivo, material de embalagem, eventuais custos logísticos para que esses insumos cheguem à produção. Custos variáveis são conceitos de contabilidade de custo e não necessariamente impactam de maneira imediata o fluxo de caixa. Por exemplo, se uma matéria prima consumida vem de estoque adquirido em períodos anteriores, na verdade não ocorre um desembolso de caixa neste momento. Houve um desembolso passado para compor este estoque e poderá haver um desembolso futuro para eventualmente recompor este estoque.

Entretanto, para efeito de fluxo de caixa, o procedimento é considerar o fato deste custo ocorrer quando da produção do produto final, ou melhor quando da venda do produto final, sendo que as correções para a fiel apuração do fluxo de caixa seja atingida pela apuração da variação do capital de giro. A variação do capital de giro acerta esses descompassos entre a compra, o pagamento dessa compra se for a prazo, a produção, a venda e o recebimento por essa venda se for a prazo.

Normalmente, no item, custo variável se utiliza o valor dos insumos tais como estão valorizados nos estoques. Ignoram-se o preço realmente pago quando da última compra ou mesmo o custo médio histórico das compras estocadas, podendo ser o valor em estoque apenas uma estimativa, chamada de custo padrão. As diferenças entre o custo padrão e o custo real dos produtos são definidas como variações, durante a contabilização. Quando fazemos estimativas de fluxos futuros, obviamente imaginamos que elas serão corretas e que não haverá variações. Mas estimamos que determinados níveis de estoque de insumos e produtos acabados devem ser necessários, assim como devem ocorrer prazos de pagamento oferecidos pelos supridores e prazos de recebimento oferecidos em nossas vendas. O fato de ocorrerem essas diferenças entre as datas de venda, de compra, dos pagamentos e dos recebimentos são todos resolvidos pela definição de capital de giro. Assim, a data do fluxo de caixa costuma ser fixada como a data da venda do produto final. Todas as diferenças de prazo entre os pagamentos do que compõem o custo do produto vendido e do próprio recebimento do valor da venda, positivos ou negativos, compõem, na forma de valor empatado por algum tempo, o capital de giro necessário à operação. Assim o prazo para se pagar as matérias primas compradas reduzirá o investimento em capital de giro e o tempo em que a matéria prima ficará em estoque aumentará o capital de giro.  Todos os pagamentos e recebimentos que não coincidam com a data de venda definiram o capital de giro investido.

Custos variáveis, portanto, costumam ser apurados multiplicando-se a produção pelo custo unitário em estoque dos vários insumos apurado pelo preço desse insumo em estoque, multiplicado pelo índice de consumo desse insumo no produto final (chamado de coeficiente técnico).

Exemplo de custo variável:

Produto Final: Tereftalato de Polietileno (PET)

Matérias Primas:

Nome              Coef.  Técnico (kg/kg)          Preço Unitário(R$/kg)                       R$/kg PET

Ácido Tereftálico                  0,85                                        1,50                            1,28

Etileno Glicol                        0,33                                        1,10                            0,36

Álcool Isopropílico                0,03                                        3,00                            0,09

Dietileno Glicol                     0,01                                        1,80                            0,02

Custo Matérias Primas (R$/kg de PET)                                                               1,75

Utilidades:

Nome              Coef.  Técnico (kg/kg)          Preço Unitário(R$/kg)                       R$/kg PET

Energia Elétrica

Nitrogênio

Agua de Processo                                         

Custo de Utilidades                                                                                                0,05           

Outros (catalizador, embalagem, etc.)                                                                 0,02

Custo variável                                                                                                         1,82

É importante lembrar que custo variável pode ser distinto de custo incremental, embora, normalmente, custos variáveis também são incrementais em períodos curtos. Custos incrementais são aqueles que aumentam com o aumento da produção e das vendas, daí frequentemente exista a coincidência dos dois. Entretanto em situações onde existe um contrato de “take or pay” para alguma matéria prima, esta deixa de ser incremental. Da mesma forma, para grandes consumidores de energia elétrica é praxe haver um contrato de demanda garantida, que também é paga independentemente do consumo ou não da utilidade, deixando de ser custo incremental. Na contabilidade de custo é comum encontrar essa parcela fixa do custo das matérias primas na forma de variável.

Custos Fixos de Produção

Custos fixos de produção são aqueles que ocorrem devido ao processo produtivo, mas que são independentes da quantidade de produto produzida. O custo do pessoal dedicado à manufatura, inclusive supervisores e gerentes, são exemplos desse tipo de custo. Impostos sobre a unidade produtiva, materiais de escritório usados na fábrica, eletricidade para iluminação e refrigeração do ambiente e alguns custos não caixa como a depreciação dos equipamentos são custos fixos de produção.

Como mencionei anteriormente, podem existir custos variáveis que são fixos. Uma boa análise do processo produtivo e também dos aspectos contratuais das compras são imprescindíveis para correta modelagem de custos.

Custos fixos de produção são projetados por período de avaliação, normalmente um ano, frequentemente escaldados com inflação, com exceção da depreciação que tem um caráter fiscal e necessita ser descarregada nos custos conforme a lei permite.

Para efeito de avaliação econômica, produtos intermediários necessitam uma consideração em especial. O avaliador pode seguir dois caminhos. Seguir um caminho da lógica de custo variável e custo fixo, identificando o que é realmente variável como sendo aquele que realmente mude com o volume produzido, sendo o restante considerado como custo fixo. Este primeiro caminho é recomendado caso alguma analise incremental esteja em andamento procurando alguma maximização de curtíssimo prazo. Um segundo caminho é adequar-se ao sistema da contabilidade de custo e tratar como variável o que a contabilidade de custo trata como variável. Este segundo método, tem uma vantagem em relação ao primeiro na apuração do capital de giro no que se refere a estoques pois no primeiro caso, o capital de giro empatado em estoques precisaria ser reavaliado para apurar apenas o custo variável puro, depiramidado. Note que ambos os processos devem levar a apurações idênticas de custo caixa. Apenas a classificação do custo entre fixo e variável é que seria distinta.

Despesas Operacionais

Enquanto os custos variáveis e custos fixos de produção tem  relação com um determinado produto, as despesas operacionais tem relação com o gerenciamento da empresa e seus vários processos. Despesas comerciais são relacionadas com os processos de vendas e marketing da empresa,  despesas de serviços técnicos e de desenvolvimento de produtos dão suporte técnico aos clientes relacionados ao uso dos vários produtos da empresa e despesas administrativas envolvem vários ,processos administrativos como Recursos Humanos, Legal, Contábil, Financeiro, Compras, Logística, Fiscal e Direção da Empresa entre outros.

Despesas Financeiras

Despesas Financeiras se referem ao custo da Dívida em seus vários aspectos, inclusive suas receitas eventuais derivadas do gerenciamento do caixa. Se a empresa importar, exportar tomar ou aplicar recursos fora do país, nessas despesas também vão aparecer custos e lucros derivados das conversões de moeda, custos de hedgings e outras figuras da administração financeira.

Imposto de renda

Imposto de renda é um custo relacionado com o  lucro tributável da empresa. É pagamento ao sócio comum a todas empresas. O IR é apenas um dos impostos relacionados com o negócio. Outros impostos são diretos às vendas e aparecem como deduções da venda bruta para gerar a venda líquida.

O gerenciamento de impostos é uma das operações mais complexas nas empresas no Brasil devido a seu alto grau de complexidade e constantes mudanças na legislação

É também um grande risco de drenagem de recursos quando não tão bem administrado.

Comentários adicionais sobre avaliação de projetos

No modelo exemplo avaliamos um projeto a partir das variáveis contábeis de um determinado ano fiscal, com o objetivo de relacionar as variáveis contábeis com as variáveis econômicas e com as medições de criação de valor.

Ao avaliar um projeto, entretanto, é necessário entender, de forma embasada, como se pode esperar que as variáveis do projeto irão se comportar nos anos futuros.

Uma boa compreensão da história do negócio é fundamental para uma projeção realista do futuro. Compreensão de aspectos cíclicos, de competição externa na formação de preços e custos, das implicações fiscais nesse processo e muitos outros fazem a diferença entre uma avaliação que auxilia ou atrapalha na tomada de decisão. 

Assim, é fundamental que o avaliador conheça não só as ferramentas como conheça profundamente o negócio. Conhecer o negócio nos vários aspectos dele, como concorrência, competitividade, tecnologias, processos produtivos diversos, balanços industriais, produtos alternativos entre outros.

Embora seja necessário conhecer-se a matemática da avaliação, de forma alguma ela basta ao bom aconselhamento na tomada de decisões econômicas da empresa.

Sabe-se que Poincaré, um ilustríssimo matemático, mas, talvez, não tão brilhante físico, já havia desenvolvido boa parte das equações da teoria da relatividade, entretanto não chegou a compreender  o significado físico dessas equações como o fez Albert Einstein. Poincaré conhecia profundamente e talvez melhor que Einstein geometria hiperbólica e as transformadas de Lorenz, mas faltou-lhe a compreensão de sua aplicação física. Claro, não quero comparar os bons avaliadores econômicos a Einstein, nem desmerecer o genial matemático que foi Poincaré. Apenas quero enfatizar que a qualidade da boa análise dependerá da real compreensão do negócio e da forma como as projeções serão sólidas. 

Sumário das variáveis e fórmulas de matemática da avaliação econômica da apuração da criação de valor

Taxa de desconto WAAC como taxa real “r” para fluxos discretos anuais ou como Taxa Nominal  “TN =  ln(1 + r)” para fluxos contínuos anuais.

EBITDA = Vendas líquidas menos custos caixa não financeiros

EBIT=EBIDA menos depreciação

NOPAT=EBIT x (1-Taxa de Imposto de Renda)

Custo de Capital discreto (CCD) = BOOK Capital  ano anterior vezes WACC como taxa real

Custo de Capital contínuo (CCC) = CCD × TN/(e^TN×n – 1)

Lucro Econômico (EPD) fluxo discreto = NOPAT – CCD

Lucro Econômico (EPC) fluxo contínuo= NOPAT – CCC

Valor Criado = NPV_r (EPD) ( EPD_n / (1+r)ⁿ )

Valor Criado = NPV_TN (EPC) (  EPC_n × (e^TN – 1 ) / (TN × e^{TN × n} ))

Objetivo do Capítulo sobre Taxas de Descontos e Risco

Numa empresa, o que define a taxa de oportunidade (ou de desconto) com a qual uma empresa deve avaliar o valor do dinheiro ao longo do tempo (fluxo de caixa), por exemplo, de um projeto, é o custo dessa empresa se financiar. Uma empresa saudável necessita considerar remunerar o investimento feito de forma a superar esse custo. Para uma empresa criar valor é necessário que os investimentos propiciem uma TIR (taxa interna de retorno) que supere esse custo do financiamento em seus projetos e no seu todo.

Existem muitas e variadas formas de financiar uma empresa. Algumas dessas formas podem estar no próprio lado operacional da empresa, quando esta recorre a seus fornecedores e até a seus funcionários alongando os prazos de pagamento. Como o custo desse tipo de financiamento não existe, ou está embutido em outras variáveis como no  preço mais alto de um insumo comprado, a forma como a avaliação econômica trata do assunto é definir que houve uma diminuição na necessidade de investir. Esse tipo de financiamento não precisa ser remunerado e não compõe a taxa de desconto da empresa, já que o custo deste financiamento está embutido nos custos (desembolsos de caixa), como no preço dos insumos comprados.

Quando nos referimos à taxa de desconto ou custo do financiamento de uma empresa, estamos nos referindo aos investimentos através de acionistas e outros financiadores de mais longo prazo (bancos ou similares) que, respectivamente, esperam ou cobram um retorno.

Quando o financiamento é feito mediante uma remuneração pré-estabelecida, mediante o retorno do principal e uma taxa de juros cobrada de forma independente da lucratividade e, com efeito fiscal positivo sobre este custo, dizemos que o financiamento foi feito através de uma dívida. Exemplos são os empréstimos bancários de curto e longo prazo, empréstimos feitos por acionistas ou empresas coligadas, mediante uma taxa de juros definida a ser paga periodicamente, debentures lançadas no mercado pelas empresas, e outras.

Quando o financiamento é feito pelo dono, ou acionistas da empresa, cujo retorno é condicional à existência de lucro e decisão da empresa distribuir dividendos, dizemos que o financiamento é através de capital próprio.

Uma forma intermediária de financiamento é feito através de emissão de ações preferenciais. Ações preferenciais podem ter menor risco, estabelecido por contrato, que as ações ordinárias. Entretanto não têm efeito fiscal positivo (ou seja, seu custo não tem fator redutor do imposto de renda a ser pago), são condicionais à existência de lucro acumulado e podem ser limitados a uma determinada taxa de remuneração, como são os juros (de novo, exceto pelo fator fiscal).

Enquanto o custo da dívida é pré-definido e relativamente fácil de ser apurado, entender o custo do capital próprio (ou custo do equity) é bem mais complicado e bem menos objetivo.

Custo do Capital Próprio (Custo do Equity)

O investidor em equity (seja o dono, seja o acionista direto ou o acionista que negocia ações de empresa no mercado secundário) busca um retorno o maior possível. Como esse investidor dependerá da lucratividade da empresa para ter esse retorno (através de dividendos), ele acaba tendo um risco maior que o risco que tem os financiadores da dívida. 

Não existe um custo negociado para o financiador do capital próprio. São as alternativas de investimento do investidor em outras ações que formam a base da definição do custo do equity da empresa. Em outras palavras, a empresa necessita estar competitiva do ponto de vista de retorno e risco para atrair investidores quando buscam um aumento de capital através de venda de ações ordinárias da empresa.

O custo do capital próprio é, portanto, função das alternativas que tem os donos da empresa de investir em outras ações disponíveis no mercado, cada qual com seu risco próprio. Essa opção é o que vai definir o custo ou a ganho alternativo de se  investir na própria empresa.

Numa empresa existente, esta é uma forma marginal de se aumentar o patrimônio da empresa, pois, a primeira opção seria reter lucros gerados ao invés de distribuí-los como dividendos. Para o investidor no capital próprio da empresa existe a possibilidade de vender as ações da empresa e investir em qualquer outra do mercado, através da compra de ações.

Entender o valor dessas alternativas e o risco dessas alternativas é o que irá definir o custo do patrimônio líquido ou equity.

Para iniciar esta análise vamos entender um pouco dos princípios do investimento em ações.

Investimento em Ações

Investir em ações implica em provavelmente ganhar mais dinheiro no longo prazo sem nunca saber quando ou se de fato este ganho irá ocorrer. É um jogo de risco e retorno e de eventuais perdas.

O estudo dessa variável é mais complexo do que é necessário aos executivos que tomam decisão na empresa e mesmo à maioria dos bons avaliadores econômicos. Entretanto penso que seja útil, ao menos, que entendam os princípios em que esse estudo se baseia.

Mesmo sem pretender rigor acadêmico, vamos nos arriscar nesta empreitada.

As ideias apresentadas por Harry Markovisky no início dos anos 50 formam a base da discussão da formação de portfólios.

Esses estudos mostraram que os investidores poderiam reduzir a volatilidade de seus investimentos escolhendo ações que se movem de forma desalinhada. Por exemplo, existem ações que tem por base o comportamento da economia, como a indústria de distribuição de energia. Outras ações voltadas a novas tecnologias e novos mercados podem ter comportamentos diferentes, como tiveram a então emergente indústria da computação e mais tarde a de softwares, depois a Google e os vários sites de relacionamento, os sites de compras na internet, entre outros.

Segundo essas ideias, a distribuição dos rendimentos das ações apresenta um comportamento semelhante ao de uma curva  normal. Assim, por ser uma curva normal, o comportamento do rendimento das ações pode ser completamente definido por apenas duas variáveis estatísticas: O “Retorno Médio Esperado” e o seu “Desvio Padrão”.

Na (Figura 16) temos os resultados históricos da variação dos fechamentos das ações da The Dow Chemical Co, ajustados com as distribuições de dividendos,  baixadas do site Yahoo Finance entre Janeiro de 1980 e Novembro de 2011.

De fato essa distribuição é próxima de uma normal:

Assim, tomando-se como base o período, Jan de 1980 e Novembro de 2011, as ações da Dow podem ser razoavelmente representadas por: (a) Um Retorno Médio Esperado de 1.14% ao mês; e (b) Seu desvio padrão de 9,8% ao mês. Da estatística, devemos nos lembrar de que na distribuição normal, Variância e Desvio Padrão são calculados pelas fórmulas:

Variância =∑ (retornos mensal – média dos retornos mensais)²  /  (n^o de meses -1)

Desvio Padrão = Variância^1/2

Façamos o mesmo com ações da Pepsi Co, conforme tabela da (Figura 18).

Notamos uma maior concentração dos valores que significa uma menor volatilidade, menor risco, com relação aos retornos da Dow.

Se o retorno médio for igual ao retorno médio da Dow, significa que o investidor irá preferir ações da Pepsi às Ações da Dow.

Assim como com as ações da Dow, os retornos das ações da Pepsi apresentam uma distribuição normal, e, portanto, também podem ser totalmente definidas pelo seu Retorno Esperado e o Desvio Padrão desse retorno.

Dessa forma, tomando-se como base o período, Jan de 1980 e Novembro de 2011, as ações da Pepsi podem ser representadas por: (a) um Retorno Médio Esperado de 1.41% ao mês, e (b) Seu desvio padrão de 6,2% ao mês.

Se aceitarmos essa longa experiência histórica como um bom proxy das expectativas futuras, temos que individualmente os retornos das ações da Dow e da Pepsi podem ser definidos por seus parâmetros estatísticos:

Ação Dow (Retorno Esperado de 1,14% ao mês e Desvio Padrão de 9,8% ao mês)

Ação Pepsi (Retorno Esperado de 1,41% ao mês e Desvio Padrão de 6,2% ao mês)

Se tomarmos um período 10 anos mais recente, por exemplo, entre Janeiro de 1990 e Novembro 2011, esses mesmos parâmetros mudam um pouco, mas mantém sua relatividade. Ainda poderíamos mudar a periodicidade (semestral, anual, diária) e teríamos dados relativamente semelhantes:

Ação Dow (Retorno Esperado de 0,89% ao mês e Desvio Padrão de 10,56% ao mês)

Ação Pepsi (Retorno Esperado de 1,05% ao mês e Desvio Padrão de 6,1% ao mês)

Assim percebemos diferentes períodos da história indicam que a ação da Pepsi apresenta um retorno maior e com menor volatilidade (desvio padrão) que a ação da Dow.

Já podemos perceber que estamos na área das probabilidades ao definir custo do capital próprio, e não no campo das certezas.

Formação de Portfólios – Introdução das Variáveis Estatísticas

Tomemos o período Janeiro de 1990 e Novembro de 2011 e vamos combinar ações da Dow e da Pepsi em diversas porcentagens e criar uma série de portfólios que gerariam diferentes parâmetros de Retorno Médio e Desvio Padrão.

Na (Figura 20) vemos que é possível ficar “vendido” em ações Dow (participação negativa) compensada com “comprado” em ações Pepsi, e vice-versa, de tal forma a formar todos os portfólios do quadro. Obviamente a soma do portfólio é sempre 100% do investimento, ou seja, do valor que está disponível para se investir.

A Média do Retorno dos portfólios tem um resultado relativamente intuitivo, pois é a média ponderada das médias de retornos mensais dos dois papéis. É intuitivo, mas sua demonstração não é imediata. Faremos esta demonstração na sequência.

Importante! Formar o Portfólio Dow e Pepsi não se trata de manter no portfólio um número fixo de ações da Dow e Pepsi a partir de uma aplicação inicial. É necessário ajustar mensalmente o portfólio, vendendo ações que subiram mais que a outra e comprando ações que subiram menos, de tal forma a sempre manter os montantes monetários na proporção desejada.

O outro parâmetro que irá definir completamente o Portfólio, o desvio padrão (DP), tem um cálculo menos intuitivo, conforme veremos.

Vamos seguir um exemplo prático, tomando somente os resultados mensais do ano de 2011 (janeiro a novembro de 2011) para deixar mais claro como tratar as variáveis estatísticas.

Na ( Figura 21) vemos os resultados publicados por “Yahoo Finance”  dos fechamentos mensais ajustados com distribuição de dividendos das ações da Pepsi e da Dow na bolsa de NY.

Agora vamos montar um portfólio com X de montante monetário e investi-lo em ações Dow e o restante (1-X) em ações Pepsi.

Vamos chamar de x’ o quociente das de ações Dow sobre o total de ações. Assim, como o preço das ações Dow e Pepsi tem valores diferentes podemos calculá-lo a partir de X, e vice-versa.

Usaremos P = preço da Pepsi em cada mês e D = preço da ação da Dow em cada mês.

Em todo momento teremos que

X = D × x’ / ( P × (1 – x’) + D × x’)               

Agora vamos promover algumas operações algébricas com esta equação:

X = D × x’ / (P – P × x’ + D × x’)                  

1 / X = (P – P × x’ + D × x’) / D × x’             

1 / X = P/ D × x’   – P × x’ / D × x’   + D × x’ / D × x’                      

1 / X = P/ D×x’   – P × x’ / D × x’   + 1                     

1 / X – 1 = P / D × x’ – P × x’ / D × x’                       

1 / X – 1 = P/ D × x’ – P / D               

1 / X – 1 + P / D = P / D × x’             

(D / X – D + P) / D = P / D × x’                    

D × x’ = P × D / (D/X – D + P)                     

x’ = P  /  (D/X – D + P), lembrando x’ o quociente do n^o de ações Dow sobre o total de ações.

Assim, em dezembro de 2010 (veja os preços no quadro anterior), se escolhermos que X=40%, ou seja, que vamos investir 40% do montante monetário em ações Dow, teremos que comprar x’ ações Dow e (1-x’) ações Pepsi. Portanto compraríamos:

x’ = P  /  (D/X – D + P)

x’ = 63,85 /  (33,43/40% – 33,43 + 63,85) = 56,0%

Ou seja, 56% do número total de ações seriam compradas em ações Dow e o restante em ações Pepsi. Assim, se tivéssemos US$100M investiríamos US$100M × X = US$40M em ações da Dow (compraríamos US$40M/US$33,43 = 1196,5 ações Dow).

Consequentemente o restante US$60M em ações Pepsi (compraríamos US$60M/US$63,85 = 939,7 ações Pepsi). O total de ações seria 1196,5 + 939,7 = 2136,2 ações. De fato, o percentual de ações Dow seria de 1196,5/2136,2 = 56%.

Com a variação de preço das ações, no final de janeiro de 2011, para mantermos 40% do montante investidos em ações Dow, será necessário vender algumas ações da Dow e comprar da Pepsi uma vez que em janeiro o preço da ação da Dow teve um aumento e a Pepsi uma redução. Esse ajuste deve ser feito para que a equação x’ = P  /  (D/X – D + P) seja observada a partir do início de fevereiro de 2011.

x’ = P  /  (D/X – D + P)

x’ = 62,85 /  (34,74/40% – 34,74 + 62,85) = 54,7% do total de ações em ações Dow.

Investimos inicialmente US$100.000,00 comprando 1196,5 ações Dow e 939,7 ações Pepsi. Aos preços de final de janeiro de 2011 teríamos US$100.627,75 e teríamos que ter 40% ou US$40251,10 em ações Dow que então valem US$34,74. Assim teríamos que ter 1158,64 ações Dow. Como tínhamos 1196,5 devemos vender 37,89 ações da Dow a US$34,74 cada e apuraríamos US$1316,35 que compraríamos em ações da Pepsi a US$62,85 cada ou 1136,35/62,85 = 20,94 ações Pepsi. Assim ficaríamos com 939,7 + 20,94 = 960,65 ações Pepsi. Dessa forma o total de ações seria 1158,64 + 960,65 = 2119,29 ações. De fato, o percentual de ações Dow seria de 1158,64/2119,29= 54,7%.

Na (Figura 22) vemos o resumo desses cálculos feitos para o período que estamos usando como exemplo com 40% do montante monetário aplicado cada e todo mês em ações Dow e o restante em ações Pepsi:

No quadro seguinte (Figura 22) apresentamos dois métodos de cálculo do retorno mensal médio do Portfólio com  40% do montante monetário aplicado cada e todo mês em ações Dow e o restante em ações Pepsi. A primeira coluna da (Figura 22) apenas mostra aquilo que estatisticamente não deve ser feito, ou seja, imaginar que os percentuais das ações é o que se mantem ao longo do tempo. Estatisticamente temos que usar as opções na periodicidade escolhida, como a partir da segunda coluna.

Na segunda coluna  “Portfólio Ajustado I” (Figura 23) o retorno médio foi calculado como a média ao longo dos meses do retorno Dow multiplicado pela participação monetária (40%) investido em Dow mais o retorno Pepsi multiplicado pela participação monetária (40%) investido em Pepsi em cada mês. Como exemplo em fevereiro de 2011  temos: 3,9% × 40% + -1,4% × 60% = 1.07%.

Na terceira coluna “Portfólio Ajustado II” o cálculo parte da (Figura 23). Primeiro em cada mês fazemos a divisão do índice do portfólio ajustado antes da troca do mês em vigor pelo índice mês anterior “ajustada” com a venda e compra de ações para ajustar os percentuais do índice. Depois calculamos a média dos resultados em todo o período. Para exemplificar, novamente o cálculo de fevereiro de 2011 fica assim: 47,99 / 47,48 – 1 = 1,07%.

Portanto, ao se formar um portfólio constante de duas ações, mantendo-se, em cada mês, o percentual investido em valores monetários na proporção definida, resulta em se obter um retorno igual à média ponderada das médias de retornos mensais dos dois papéis. Esta afirmação não seria verdadeira se estivéssemos mantendo o número de ações de cada empresa desde uma compra inicial. É necessário que ocorram trocas de ações (compra e venda) para manter em cada mês uma parcela fixa dos investimentos em cada empresa. Somente assim valem as condições estatísticas que estamos querendo demonstrar para um portfólio de duas ações.

Em seguida vamos apresentar a outra variável estatística definidora da curva normal, chamada Covariância.  Covariância se define entre uma ação e um portfólio,  entre dois portfólios, ou, no exemplo, entre essas duas ações no mesmo período, Dow e Pepsi. Esta variável estatística é uma das medidas de variabilidade do portfólio. Se elas andam juntas, esta variável tende a ser próxima da Variância dos retornos das ações individualmente. Se quando uma sobe a outra desce (o que é muito difícil), então o portfólio das duas ações tende a ter um risco muito menor que cada ação individualmente.

A Covariância é dada pela soma, ao longo dos meses, da multiplicação entre as diferenças entre o retorno mensal de cada ação e o seu retorno médio no período, dividido pelo número de eventos menos um. Matematicamente escrevemos:

Covariância = ∑ [ (retornos mensal ação A – média dos retornos mensais ação A ) × (retornos mensal ação B – média dos retornos mensais ação B) ]   /  (n^o de eventos – 1)

No exemplo para 2011 das ações Dow e Pepsi, temos o que mostra a (Figura 24).

Agora vamos observar como se comportam a Variância do retorno e, dessa forma, o  Desvio Padrão, nesse portfólio de duas ações:

Vamos Demonstrar que a Variância do portfólio é dada pela fórmula:   VariânciaPort Pep Dow = VARDow× XDow2 + VARPep × (1 -XDow)2 + 2 × XDow × (1-XDow) × CVDow.Pep

Definições:

VariânciaDOW = ∑[(Ret. MensalDow – média dos Ret. MensaisDow)2] / (No de meses -1)

VariânciaPEP = ∑[(Ret. MensalPep – média dos Ret. MensaisPep)2]  / (No de meses – 1)

VariânciaPort = ∑[(Ret. MensalPort – média dos Ret. MensaisPort)2]  / (No de meses -1)

Mas sabemos que:

Ret. MensalPort = Ret. MensalDow × XDow + Ret. MensalPep × (1-XDow)

E também que:

Média R. MensalPort = média R. MensalDow×XDow + média R. MensalPep×(1 -XDow)

Então fazendo as devidas substituições:

VariânciaPort = ∑{[R. MensalDow × XDow + R. MensalPep × (1-XDow) – média dos R. MensaisPort]2 }  / (No de meses -1)

VariânciaPort = ∑{[R. MensalDow × XDow + R. MensalPep × (1-XDow) –  média R. MensalDow×XDow – média R. MensalPep×(1 -XDow)]2 }  / (No de meses -1)

VariânciaPort = ∑{[R. MensalDow × Xdow –  média R. MensalDow × XDow  + R. MensalPep × (1-XDow) – média R. MensalPep×(1 -XDow)]2 }  / (No de meses -1)

VariânciaPort = ∑{[ (R. MensalDow –  média R. MensalDow) × XDow  + (R. MensalPep – média R. MensalPep) × (1 -XDow)]2 }  / (No de meses -1)

VariânciaPort = ∑{[ (RMDow – mRMDow) × XDow + (RMPep – mRMPep)×(1 -XDow)]2 } / (No de meses -1)

VariânciaPort = ∑{[ (RMDow – mRMDow) × XDow + (RMPep – mRMPep)×(1 -XDow)]2 } / (No de meses -1)

Fazendo a multiplicação dos fatores do quadrado:   VariânciaPort = ∑{[ (RMDow –  mRMDow)2 × XDow2 + (RMPep – mRMPep)2 × (1 -XDow)2  + 2 × Xdow × (1-Xdow) × (RMDow -mRMDow) × (RMPep – mRMPep) ]}  / (No de meses -1)

E como a somatória de 3 parcelas é igual a soma das somatórias de cada parcela:

VariânciaPort ={ ∑[ (RMDow –  mRMDow)2 × XDow2] + ∑[(RMPep – mRMPep)2 × (1 -XDow)2] + ∑[2 × Xdow × (1-Xdow) × (RMDow -mRMDow) × (RMPep – mRMPep)] } / (No de meses -1)

Isolando o fator constante de cada somatória (aplicando a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição):

VariânciaPort ={ ∑[ (RMDow –  mRMDow)2]× XDow2 + ∑[(RMPep – mRMPep)2 ] × (1 -XDow)2 + 2 × Xdow × (1-Xdow) × ∑[(RMDow -mRMDow) × (RMPep – mRMPep)] } / (No de meses -1)

Chamando “No de Meses -1″ de “M” para simplificar:

VariânciaPort ={ ∑[ (RMDow –  mRMDow)2]/M× XDow2 + ∑[(RMPep – mRMPep)2 ]/M × (1 -XDow)2 + 2 × Xdow × (1-Xdow) × ∑[(RMDow -mRMDow) × (RMPep – mRMPep)]/M }

Aplicando as definições de Variância:

VariânciaPort = VARDow× XDow2 + VARPep × (1 -XDow)2 + 2 × Xdow × (1-Xdow) × ∑[(RMDow – mRMDow) × (RMPep – mRMPep)]/M

Aplicando a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição novamente:

VariânciaPort = VARDow× XDow2 + VARPep × (1 -XDow)2 + 2 × Xdow × (1-Xdow) × ∑[(RMDow -mRMDow) × (RMPep – mRMPep) / M ]

Reconhecendo que expressão abaixo é a definição de Covariância entre ações Pepsi e Ações Dow no período:

∑[(RMDow -mRMDow) × (RMPep – mRMPep) / M ]  = CVdow.pep

Chegamos, finalmente, ao cálculo da formula que define a Variância de um portfólio com X ações Dow e (1-X) ações Pepsi:

VariânciaPort = VARDow× XDow2 + VARPep × (1 -XDow)2 + 2 × XDow × (1-XDow) × CVDow.Pep

Conhecidas a origem das variáveis estatísticas dos retornos das ações e a história dos fechamentos mensais ajustados com a distribuição de dividendos, vamos seguir com as consequências da formação de portfólios de ações Dow e Pepsi com variadas composições, agora num longo período, entre janeiro de 1990 e novembro de 2011. Assim foi composta a ().

Na (Figura 26) vemos que, como a ação da Dow teve uma rentabilidade no período menor que a ação da Pepsi, à medida que reduzimos seu percentual o retorno aumenta. O interessante é observarmos o comportamento do desvio padrão na (Figura 27), medida da volatilidade ou risco do portfólio, como função da composição relativa do portfólio expresso em % do investimento em ações da Dow.

Se somente tivéssemos ações Dow, teríamos um desvio padrão alto de 10.6% para uma média de retorno de 0.89% ao mês e se tivéssemos somente ações da Pepsi teríamos um desvio padrão de 6.1% ao mês para um retorno de 1.05% (Figura 26).  Apesar da ação da Pepsi ter uma tendência de volatilidade menor que  a ação da Dow, a combinação delas pode reduzir a volatilidade do portfólio. Note-se que a Variância desse portfólio atingiriam um mínimo próximo de 20% de ações Dow e 80% de ações Pepsi e não somente com ações da Pepsi!

De fato este ponto de mínimo exato pode ser definido pela inflexão da fórmula que deduzimos há pouco. A inflexão da curva do Desvio Padrão do portfólio Pepsi e Dow como função de da participação da Dow é dada pela derivada da equação:

Variância_Port = VAR_Dow× X_Dow² + VAR_Pep × (1 -X_Dow)² + 2 × X_Dow × (1-X_Dow) × CV_Dow.Pep

Vamos simplificar as notações para calcular a derivada da equação do quadrado do Desvio Padrão, pois na inflexão da Variância, é também estará inflexão da sua raiz quadrada, o  Desvio Padrão:

Var_{pep dow} = y =  VD.x² + VP + VP.x² – 2.VP.x + 2.CV. x – 2.CV.x²                               

no mínimo, dy/dx=0; e como d( f(x) +- f’(x) )/dx = d f(x)/dx +- df´(x)/dx então:

0 = d(vd.x²)/dx + d(vp)/dx + d(vp.x²)/dx – d(2.vp.x)/dx +d(2.CV. x)/dx – d(2.CV.x²)/dx           

E como d(f(x).A) = A.d(f(x))/dx; d(f(xⁿ)/dx = n.d(f(x)/d(x^n-1) e d(A) = 0 sendo A constante

0 =       2.vd.x     +    0          +   2. vp.x        –    2.vp     +      2.CV            –     4.cv.x           

2.vd.x +  2  vp.x  –  4.cv.x =  2.vp     –    2.cv                                                        

vd.x +  vp.x  – 2.cv.x =          vp     –    cv                                                  

x.(vd +  vp  – 2.cv) =  vp     –    cv                                                  

x =       ( vp – cv)  /     (vd +  vp  – 2.cv)                                          

x =       0.25% /           1.25%                       

x =       20.4%                                               

Variância ou desvio Padrão mínimos ocorreram com um portfólio com 20.4% do montante  monetário investidos em ações Dow  e com 79,6% em ações Pepsi.

A partir da mesma tabela da (Figura 26) desenhamos a curva da Rentabilidade Mensal versus o Desvio Padrão do portfólio as participações das duas ações (Figura 28). O Menor Desvio Padrão que se pode conseguir com portfólios formados por Dow e Pepsi é 5,67%, com 20.4% de ações Dow e 79,6% de ações Pepsi, como foi calculado pela derivação acima.

DP_dow.pep = ( VAR_Dow× X_Dow² + VAR_Pep × (1 -X_Dow)² + 2 × X_Dow × (1-X_Dow) × CV_Dow.Pep )^0.5

DP_dow.pep = (1.11  × 20.4%² + 0,37% × (1 -20.4%)² + 2 × 20,4% × (1-20,4%) × 0.12%)^0.5 = 5.67%

Assim, retorno e volatilidade de cada ação definem a demanda média por aquele tipo de ação, e o retorno do portfólio ideal pode sugerir que uma determinada porcentagem de ações com menor retorno e maior desvio ainda podem otimizar esse portfólio. Ou seja, existe demanda para ações relativamente ‘piores’ mas que maximizam o risco x retorno do portfólio como um todo.

Portfólios com múltiplas ações

Tomemos agora um portfólio com grandes números de ações. Como exemplo, usaremos o portfólio das ações que formam o índice Dow Jones que hoje (Novembro de 2011) inclui essas 30 grandes corporações negociadas na bolsa de NY:

            Nome                                     Sigla               Área de atuação           

1. 3M                                                     MMM                  Conglomerado
2. Alcoa                                                 AA                        Aluminio
3. American Express                          AXP                       Finanças  
4. AT&T                                                 T                           Telecommunicação
5. Bank of America                            BAC                      Banco
6. Boeing                                              BA                        Aeronaves e defesa
7. Caterpillar                                       CAT                      Construção e equipamentos mineração
8. Chevron Corporation                    CVX                      Petróleo e gas
9. Cisco Systems                                 CSCO                    Network de computação
10. Coca-Cola                                        KO                        Refrigerantes e bebidas
11. DuPont                                                            DD                        Química
12. ExxonMobil                                     XOM                     Petróleo e Gas
13. General Electric                             GE                         Conglomerado
14. Hewlett-Packard                            HPQ                     Tecnologia
15. IBM                                                   IBM                      Computadores e  technologia
16. Intel                                                  INTC                     Semicondutores
17. Johnson & Johnson                       JNJ                        Farmacêutica
18. JPMorgan Chase                            JPM                      Banco
19. Kraft Foods                                      KFT                       Processamento de alimentos
20. McDonald’s                                     MCD                    Fast food
21. Merck                                               MRK                     Farmacêutica
22. Microsoft                                         MSFT                   Software
23. Pfizer                                                PFE                       Farmacêutica
24. Procter & Gamble                         PG                        Bens de consumo
25. The Home Depot                           HD                        Varejo de Material de Construção
26. Travelers                                          TRV                      Seguros
27. United Technologies Co                             UTX                      Conglomerado
28. Verizon Communications             VZ                        Telecomunicação
29. Wal-Mart                                         WMT                   Varejo
30. Walt Disney                                     DIS                        Radiofusão e  entretenimento

Tomemos a curva de distribuição dos retornos versus o número de ocorrências mensais dos retornos, para o portfólio Dow Jones (DJ), entre janeiro de 1980 e novembro de 2011. Vamos compará-las com as curvas que já foram mostradas, relativas às ações individuais Pepsi e Dow. A curva normal do portfólio é mais estreita e elevada que as das ações individuais. Isto significa que há maior concentração de retornos, menor desvio padrão e, portanto menor risco:

Como já discutimos, a curva normal pode ser completamente definida pelo sua média e pelo seu desvio padrão.

Já provamos que o portfólio de duas ações (ou de uma ação e um portfólio) tem o Retorno Médio dado pela média ponderada dos retornos médios esperado entre eles, podemos ir incluindo mais e mais ações aos portfólios resultantes, de tal forma a obter-se o portfólio final. Por exemplo, o Dow Jones. Assim, o Portfólio de muitas ações tem um Retorno Médio definido pela média ponderada (ponderada pelo montante investido) das médias dos retornos esperados de cada uma das ações. Matematicamente:

Ret_port  

…onde x_i é a o a razão do investimento em cada das “n” ações do portfólio sobre todo o investimento e r_i é o retorno médio esperado de cada uma dessas ações.

Já vimos que o Desvio Padrão de duas ações é dado por: 

Variância port_{dow, pep} = VAR_Dow× X_Dow² + VAR_Pep × (1 -X_Dow)² + 2 × X_Dow × (1-X_Dow) × CV_Dow.Pep

Agora que nos acostumamos com as variáveis, vamos passar a utilizar a notação tradicional das mesmas:

Desvio Padrão da ação i = σ_i

Variância da ação i = σ_i²

Covariância entre ação i e ação j  = σ_ij

Correlação entre ações i e j = ρ_ij

Retorno médio da ação i = ř_i

A fórmula da covariância já demostrada apresentada fica descrita como segue:

σ_port(i,j) ² = σ_i² × x_i² + σ_j² × (1-x_i)² + 2 × x_i × (1 – x_i) × σ_ij

Notem que esta fórmula é igual à “produtoria” dos desvios padrões proporcionais:

Covariância entre n ações =  

No caso de n = i,j temos 

σ_port(i,j) ² = (σ_i×x_i) ×(σ_i×(1-x_i))

σ_port(i,j) ² = σ_i²×x_i² + σ_j² × (1-x_i)² + 2 × x_i × (1 – x_i) × σ_i × σ_j

σ_port(i,j) ² = σ_i²×x_i² + σ_j² × (1-x_i)² + 2 × x_i × (1 – x_i) × σ_ij

Já que (1 – x_i) = x_j , esta fórmula pode ser decomposta em suas parcelas como na tabela abaixo (Figura 30):

Sendo que: σ_port(i,j) ² = Soma dos 4 elementos e, portanto, o desvio padrão do portfólio será dado por: σ_port(i,j)  = (Soma dos 4 elementos)^0.5

Caso o portfólio fosse apenas uma ação então x_i=100% e obviamente teríamos que:

σ_port(i,i)  = ( σ_i²×x_i²)^0.5 = ( σ_i²×100%²)^0.5 = ( σ_i²×1)^0.5 = ( σ_i²)^0.5 = σ_i

No caso de DJ index temos uma matriz de 30 linhas e 30 colunas, montada semelhantemente, tendo na diagonal a variância de cada empresa, vezes o quadrado da participação de cada uma das 30 empresas e nos outros espaços. Por exemplo, na coluna Alcoa e linha American Express, teríamos a multiplicação:

(x _Alcoa × x _Aexpress × Covariância _{Alcoa,AExpress})

x _Alcoa = participação fixa monetária da Alcoa no índice DJ

x _Aexpress  =  participação fixa monetária da AExpress no índice DJ

Lembrando que Covariância também pode ser descrita como e a tabela abaixo ter os quadros amarelos descritos em função das correlações e desvios padrões.

σ_{Alcoa,AE =} ρ_Alcoa,AE ×  σ_{Alcoa ×} σ_AE

Abaixo a grande tabela descrevendo as parcelas da  Variância do portfólio Dow Jones  a partir das variâncias e covariâncias de cada par de ações entre todas as empresas do portfólio ( note que usei “.” como sinal de multiplicação) :

Vamos proceder a uma rápida análise dimensional da (Figura 31). À medida que aumentamos o número de ações no portfólio, a fração x_i diminui, e mais ainda diminui o seu quadrado. O número de parcelas da tabela do portfólio DJ é 30×30 = 900 e, caso os investimentos fossem exatamente iguais, o valor de x=1/30, e seu quadrado seria x² = 1 / 30² = 1 / 900. Assim, se todas as ações se movessem paralelamente, e, portanto, apresentassem covariâncias e variâncias iguais, então o resultado da Variância do Portfólio seria igual à Variância idêntica dos retornos de todas as ações:

σ_Port² = 900 × (1/900 × σ_i²) = σ_i²

O fato de terem comportamentos diferentes é o que produz covariâncias de cada par de ações potencialmente menores que as variâncias de cada ação desse par e, portanto, fazem com que a Variância e o Desvio Padrão do portfólio diminuam, reduzindo seu risco.

Afinal, na tabela existem 30 parcelas que dependem das variâncias de cada ação e 900 – 30 = 870 parcelas que dependem da Covariância de cada par de ações do portfólio.

O limite para a redução do risco está no fato de que, na verdade, todas as  ações, em maior ou menor dimensão, estão sujeitas as flutuações do mercado como um todo, e suas Covariâncias não conseguem anular-se. O que se anulam são as flutuações individuais de cada ação por razões internas da empresa, que, por sua origem, não ocorrem concomitantemente nas outras empresas.

Obviamente o leitor mais rigoroso com a lógica percebe que esta demonstração não é academicamente profunda, fui econômico quanto às premissas, definições de mercado ideal  e outros detalhes. Entretanto creio que ofereci o suficiente para a compreensão conceitual das bases da definição de custo de capital próprio (equity) a partir das alternativas de investimento em outras empresas e nos portfólios de melhor risco retorno sem aborrecer demasiadamente, assim espero, meu leitor mais prático!

Critério para Apuração do Custo do Capital Próprio

Como vimos, as alternativas de investimento do investidor em ações formam a base da definição do custo do equity da empresa. A empresa necessita estar competitiva do ponto de vista de retorno e risco para atrair investidores quando buscam um aumento de capital através de venda de ações ordinárias da empresa. Uma das formas de aumentar o retorno futuro e consequentemente a demanda é a redução do preço de mercado da ação.

Vimos que o custo do capital próprio é função das alternativas que tem os donos de uma empresa de investir em outras ações disponíveis no mercado, cada qual com seu risco próprio e passível de diluição até certo ponto com diversificação. Essa opção é o que vai definir o custo ou a ganho alternativo de se  investir na própria empresa.

Lembramo-nos das várias formas de financiar o capital próprio, mas indicamos que vamos analisar sua avaliação através do financiamento marginal através da emissão de ações ordinárias.

Ao contrário do custo da dívida, que é estabelecido entre o tomador e o banco ou bancos financiadores, o custo do Patrimônio Próprio (ou custo do Equity) decorre dessa capacidade de atrair investidores e das alternativas destes, ajustada ao risco.

Indicamos que os retornos esperados e variabilidade da ação de uma empresa, por razões práticas, podem ser seu comportamento histórico, tomado num período longo. Esta base, assim tomada, pode não ser correta caso tenham ocorrido grandes mudanças na empresa, no mix de seus produtos, mas tende a ser uma base estatística ao menos razoável, se notarmos que certas tendências de comportamento (caso Dow e Pepsi) se não são idênticos, pelo menos são parecidas em diferentes períodos.  

Desde ponto em diante tentaremos mostrar como, quanto e porque esse custo de capital próprio é maior que investir em alguma alternativa de muito baixo risco, como aplicar em Letras do Tesouro.

Vamos procurar entender agora  os conceitos básicos dos métodos com base estatística de se estimar esse “custo do patrimônio próprio” da empresa.

Riscos Elimináveis e não Elimináveis pela Diversificação

Pense num investimento de R$10.000 em uma única empresa que o investidor não controla.

O que acontecerá com esse dinheiro se essa empresa tiver uma grande explosão em sua maior fábrica, receber uma multa gigantesca por danos ambientais ou perder um contrato muito grande? Também pode acontecer da empresa inventar um produto maravilhoso, descobrir um processo muito mais barato de produzir um bem e patenteá-lo! Será que o investidor está disposto a perder ou ganhar muito dinheiro devido a esses fatos tão aleatórios? Os investidores tendem a se afastar desse tipo de investimento porque esses eventos podem trazer oscilações muito maiores do que o investidor está disposto a suportar.  

Como vimos nas discussões estatísticas, investir esses R$10.000 em muitas empresas pode trazer um bom retorno com um risco mais reduzido. Esse tipo de risco, chamados riscos das firmas, é diversificável.

Por outro lado, riscos de mercado, como uma crise econômica na Europa provocando uma resseção mundial, ou um boom no crescimento mundial com o desenvolvimento acelerado de uma grande economia como a chinesa, são riscos que não podem ser eliminados por diversificação porque tendem a afetar todas as empresas paralelamente.

Um portfólio grande de ações apresenta risco muito menor que o risco de um investimento numa única empresa. Um portfólio de empresas farmacêuticas, por outro lado, pode reduzir alguns riscos de cada firma, mas ele pode estar sujeito a alguns riscos típicos do mercado farmacêutico, tipo controle de preços em alguns países, e apresentarem um risco intermediário.

Os investidores em cada tipo de portfólio ou fundo, ou os investidores em empresas individuais, terão que ter, portanto, expectativas diferentes de retorno ou não investiriam nas oportunidades de maior risco, derrubando seus preços.

Com base nesse conceito básico de que risco requer retorno suficiente para atrair investidores, foram desenvolvidos alguns modelos para mensurar numericamente a variável chamada risco, associada aos retornos requeridos.

Como todos os modelos são estatísticos, e a única base de dados disponível é a histórica, esses modelos tem por base o comportamento das ações no passado. Dados passados tentam estabelecer critérios de comportamento para prever o futuro, portanto têm suas falhas. Todos, entretanto, estabelecem um custo de capital maior ao investir em ações que costumam apresentar maior volatilidade, e sempre muito maior que investir em opções de muito menor risco como letras do tesouro nacional.

Sem pretensão de profundidade acadêmica, escolhemos um método de cálculo do custo do capital próprio, o CAPM. Veremos que mesmo com este objetivo bem singelo precisaremos de todo o arcabouço estatístico que desenvolvemos até aqui.

Introdução ao Modelo CAPM

O CAPM (do inglês: Capital Asset Market Model) foi desenvolvido nos anos 60´s pelos economistas William Sharpe, John Lintner e Jack Traynor.

O método utiliza a análise estatística, ou seja, probabilidade de eventos retorno e volatilidade esperada para as ações e dos portfólios diversificados das empresas, como estudamos nos itens anteriores. Embora o método se refira a probabilidades de ocorrências futuras, das tendências dos preços das ações em relação ao mercado como um todo, na prática, a base de cálculo dessas tendências  é sua história tomada num longo período, com o objetivo de minimizar as variações dos riscos não elimináveis. Assim quando usamos o método de forma prática, costumamos não levar em consideração os fundamentos de cada empresa na estimativa das probabilidades de preço futuro, nem a dependência entre os eventos (por exemplo, que depois de uma depressão pode haver crescimento). Tratamos cada evento ocorrido como uma possibilidade estatística.

Vamos usar um exemplo para que se vá apresentando, de forma prática, as variáveis estatísticas usadas neste método:

Tomemos o retorno histórico de um portfólio relativamente grande na Bolsa de NY, representado pelo índice Dow Jones (DJ). Iremos assumir que DJ representa bem o mercado todo e assim eliminou todos os riscos diversificáveis. Tomemos também, por exemplo, as ações da Dow Chemical (DOW) e as ações da Pepsi Corporation (PEP). Usaremos os fechamentos mensais ajustados (com a distribuição de dividendos extraídos do site Yahoo Finance) entre janeiro de 1990 e outubro de 2011:

Na amostra histórica da (Figura 32), dividimos o último ponto e primeiro mês da tabela, e extraímos sua raiz (1 / número de meses – 1). Esse retorno de ponta a ponta, calculado em % ao mês, é também apresentado em % ao ano. Verificam-se retornos acumulados de 7,29% aa para DJ; 5.35% aa para a Dow e 11,39% aa para a Pepsi.

        Retorno ponta a ponta por mês                     RPP por mês anualizado

Pepsi                                      0.90%                                                11,39%

Dow                                        0.44%                                                   5,35%

DJ                                           0.59%                                                   7.34%

A partir da mesma base de dados, podemos desenvolver regressões exponenciais desses fechamentos ajustados com dividendos, abandonando tomar somente o início e o final do valor das ações:

As Fórmulas das Regressões apresentam as seguintes equações (partindo de janeiro de 1990) sendo x o número de meses a partir de janeiro de 1990:

Ação Pepsi:   y = 9.4106 × e ^0.0083x     ou       y = 9.4106 × { 1 +  [ (1+0.83%)^x -1 ] }

Ação Dow   y = 9.2063 × e ^0.0055x         ou        y = 9.2063 × { 1 +  [ (1+0.55%)^x -1 ] }

Portfólio DJ    y = 3335 × e ^0.0059x     ou        y = 3335 × { 1 +  [ (1+0.59%)^x -1 ] }

Essas fórmulas implicam em taxas de retorno ou de desconto, aplicáveis de forma composta conforme indicadas a seguir:

                        CMP mensal             CMP mensal anualizado

Pepsi                          0.83%                                         10.47%

Dow                            0.55%                                           6.82%

DJ                               0.59%                                           7.34%

Embora os dois métodos acima representem bem o que ocorreu com as ações da Pepsi e da Dow neste longo período, sabemos que o investidor não está interessado somente no que ocorre individualmente com as ações de cada empresa, porque ele sabe como reduzir pelo menos parte desses riscos estatisticamente. Portanto nãoserão esses os retornos médios utilizadosmétodoCAPM.

O CAPM,  métodos de estimativa do custo do capital próprio com base estatística, toma as oportunidades de investir em ações de empresas ao longo do tempo apenas como eventos estatisticamente possíveis em cada período de decisão, não sequenciais. O método considera os vários eventos retorno como variáveis independentes. Dessa forma, numa análise puramente estatística de eventos, calculamos os retornos mês a mês de cada uma dessas séries, bem como a média dos retornos (já mostramos que o retorno médio de um portfólio é igual á média dos retornos).

Na (Figura 34) vemos alguns trechos (iniciais e finais) dos cálculos dessas médias mensais:

===>

Retorno médio mensal                    Retorno médio mensal anualizado

Pepsi                          1.05%                                                                       13.31%

Dow                            0.89%                                                                        11.28%

DJ                               0.66%                                                                           8.17%

Libor (Risk Free)     0,35%                                                                          4.32%

A média foi calculada como a soma dos retornos mensais dividido pelo número de meses.

Seguindo-se com a análise estatística dos eventos retorno, a partir da mesma tabela, é possível calcular-se a Variância desses retornos. Variância do Retorno de uma Ação ou Portfólio é a soma dos quadrados das diferenças anuais entre cada retorno periódico e a média dos retornos, divida pelo número de meses menos um. A raiz quadrada da Variância é o Desvio Padrão.

Na (Figura 35) apresentamos início e final da tabela desses cálculos para as ações e portfólio usados no exemplo:

===>

Variância mensal                 Retorno médio mensal anualizado

Pepsi                          1.05%                                                                       13.31%

Dow                            0.89%                                                                        11.28%

DJ                               0.66%                                                                           8.17%

Libor (Risk Free)     0,35%                                                                          4.32%

A seguir calculamos algumas Covariâncias e Correlações duas ações ou entre uma ação e um portfólio. Covariância, como vimos, é a soma do produto das diferenças anuais entre cada retorno anual e a média dos retornos anuais de cada ação, ou de uma ação e um portfólio; divididos pelo número de ocorrências menos um. Vamos novamente mostrar o início e o final da tabela de cálculo de Variâncias, do exemplo, na (Figura 35) :

===>

Fica claro (veja Covariância de DJ x DJ; Covariância = Variância = 0.0019 ou 0.19%) que Variância é um tipo de Covariância da ação ou portfólio com ele mesmo.

Na segunda coluna da tabela apresentamos outra forma de cálculo da Covariância entre os eventos retornos das ações do portfólio Dow e eventos retornos do portfólio Dow Jones. Ele foi feito dividindo-se a soma dos produtos dos retornos mensais da ação DOW pela das diferenças dos retornos anuais do portfólio DJ e a média dos retornos anuais DJ. A média dos retornos da DOW foi desnecessária ao cálculo. Os resultados são idênticos.

Portanto a Covariância pode ser calculada de dois modos:

ρ_ij =  [ (r_DJn – ř_DJ) × ([ (r_DOWn – ř_DOW)]   /  (n^o de eventos – 1)

…ou:  

ρ_ij =  [ (r_DJn – ř_DJ) ×  r_DOWn ] /  (n^o de eventos – 1)

A partir da Covariância podemos calcular a Correlação entre duas ações (ou uma Ação e um Portfólio). Como vimos na revisão estatística, Correlação é o igual à Covariância dessas duas Ações (ou de uma ação e um portólio) dividida pelo produto dos seus Desvios Padrões. No caso da Correlação entre Dow e DJ temos que:

CORRELAÇÃO _DOW.DJ  =  COVARIÂNCIA _DOW.DJ  / ( DP_DOW × DP_DJ )

CORRELAÇÃO _DOW.DJ  =  0.0028  / (10.54% × 4.31%) = 60.69% ( não muito alta)

Note que a correlação entre uma ação e ela mesma é 100%, veja:

CORRELAÇÃO _DOW.DOW  =  COVARIÂNCIA _DOW.DOW  / ( DP_DOW × DP_DOW )

CORRELAÇÃO _DOW.DOW  =  VARIÂNCIA _DOW.DOW  / ( DP_DOW × DP_DOW )

CORRELAÇÃO _DOW.DOW  =  VARIÂNCIA _DOW.DOW  / (VARIÂNCIA _DOW.DOW  ) =100%

Apresentadas as suas variáveis, voltemos ao método CAPM. O método assume que é possível se diversificar ações ( ou portfólios de investimento com risco) de tal forma que para um determinado Retorno Médio, se forme um portfólio que apresente uma Variância mínima positiva, pois alguns riscos serão não diversificáveis. Ações individuais e outros portfólios com este definido Retorno Médio esperado teriam Variâncias maiores que este portfólio que chamamos de Eficiente do ponto de vista risco e retorno. No gráfico da (Figura 37), os pontos da curva parabólica representam todos esses Portfólios Eficientes onde os investidores preferem estar. Quaisquer outros portfólios com igual retorno estariam horizontalmente à direita dessa curva, portanto com Variâncias maiores e seriam inadequados. Todos os portfólios ineficientes estariam na porção côncava da curva. Obter-se tal curva é um trabalho significativo e complexo. Atinge-se este objetivo por um tipo de programação linear chamada programação quadrática[1].  Se considerarmos as possibilidades, poderemos imaginar essa dificuldade.

O método CAPM então presume a associação desses investimentos com risco que estão na fronteira de eficiência, com variáveis proporções de investimentos sem risco (Risk Free), ou seja, com Variância zero. Essa associação define uma linha reta, conforme mostraremos a seguir. A Variância desses dois portfólios (i=Risk Free e j=Portfólio da Fronteira Eficiente) é assim definida, conforme já mostramos:

σ_port(i,j) ² = σ_i²×x_i² + σ_j² × x_j² + 2 × x_i × x_j × σ_ij

Como o Portfólio i não tem risco => σ_i²~ 0; σi=0 e σ_ij = σ_i × σ_j × ρ_ij = 0

Portanto:

σ_port(i,j) ² = 0 + σ_j² × x_j² + 0 = σ_j² × x_j²

σ_port(i,j) = σ_j× x_j

Como “σ_j”é uma constante em relação a “x_j” está equação é uma reta do tipo y = c.x , assim concluímos que o Desvio Padrão do portfolio combinado em relação à porcentagem do portfólio de risco “j”  é uma função linear do desvio padrão desse portfólio de risco “j”.

O mesmo pode-se dizer do retorno esperado desse portfólio combinado, já que por definição ele é a média ponderada dos portfólios médios de risco e “ risk free”. Veja:

ř_ij =   ř_j × x_j  +  ř_i × (x_j  – 1)

ř_ij =   ř_j × x_j  +  ř_i × x_j  –  ř_i

ř_ij =   (ř_j +  ř_i) × x_j  –  ř_i

Como ř_j ,  ř_i, a equação acima é do tipo y’ = a. x + b que também define uma reta.

Então ao combinarmos as duas equações y’ = a. x + b onde x = y / c, concluímos que y’=f(y) também é uma reta:

y’ = a. (y / c) + b

y’ = a/c . y + b  onde a/c e b são constantes em relação a x.

Substituindo-se y’, y, a, b e c por seus parâmetros temos a reta:

ř_ij = (ř_j +  ř_i)/ σ_j × x_j  –  ř_i

A curva do gráfico da (Figura 37) representa a fronteira de eficiência entre risco (variância ou desvio padrão) e retorno de possíveis portfólios formados somente por investimento de risco (aqueles que para cada tipo de retorno oferecem o menor desvio padrão).

Existem muitas retas possíveis dessas combinações, algumas coincidentes como as das combinações do portfólio de risco A e Risk Free e a B e Risk Free. No ponto exato B da combinação do Portfólio B com ações Risk Free (RF) nós teríamos 100% de participação do portfólio B e 0% de RF e,  claro, no ponto RF, nós teríamos 100% de ações Risk Free.

O que significa a inclinação de uma reta em particular que combina investimento Risk Free (RF) e Portfólio T quando comparada com a de qualquer outra reta tipo RF e Portfólio A ou RFe Portfólio B? Significa que nesta reta, por ser a mais inclinada entre todas possíveis, para cada possível Retorno Médio, obtemos o menor  Desvio Padrãopossível dentro da fronteira de eficiência que passa pelo retorno Risk Free (Combinações de RF e investimentos eficientes de risco). Assim, esta reta de portfólios mistos entre ações de risco, segundo o portfólio eficiente T, e investimento Risk Free, é o mais eficiente deles ao combinar risco e retorno.  Quando existem ações Risk Free, o portfólio T é o que oferece a melhor combinação entre a curva da fronteira de eficiência das ações com risco e investimentos Risk Free.   Esta reta (que passa por T e RF) é, portanto, a Reta do Mercado de Capital. Investidores  avessos a risco iriam preferir investir na reta com combinações muito próximas a RF para obter o melhor retorno possível com o mínimo de volatilidade (por exemplo, investidores de fundos de aposentados que dependem desse retorno como salário mensal). Aqueles investidores que buscam retornos maiores a prazos mais longos (investidores de fundos de ações e outros investidores com perfil agressivo) buscariam pontos próximos da reta por volta ou até um pouco acima de T.  

Assim o mercado todo dos investimentos com risco é esse grande portfólio de ações definindo o ponto “T”.  Na prática é comum usar-se alguns portfólios de referência como o SP500 ou  DOW JONES (DJ) como sendo esse mercado, ou portfólio T.  Então podemos usar a fórmula da reta: Y_T = a. X + b, onde:

Y_T = retorno do portfólio ideal onde;

b = retorno Risk Free;

a = inclinação da reta do gráfico acima (dada pelo cosseno do ângulo da reta com o eixo horizontal que passa pelos pontos com coordenadas (0,Risk Free) e (Desvio Padrão_DJ, Retorno_DJ ).

Portanto “a”  pode ser definido como o cosseno do ângulo esquerdo do triângulo retângulo da (Figura 37):

a = (Retorno_DJ – Risk Free) / (Desvio Padrão_DJ )

Assim a equação da reta “Y_T = a. X + b” passa a ser:

Retorno_DJ = [ (Retorno_DJ – Risk Free) / (Desvio Padrão_DJ) ] × Desvio Padrão_DJ  + Risk Free

Retorno_DJ = Risk Free  + (Desvio Padrão_DJ /Desvio Padrão_DJ)  ×  [ (Retorno_DJ – Risk Free)] 

Se chamarmos a inclinação da reta (Desvio Padrão_DJ /Desvio Padrão_DJ)  de β_DJ (beta do índice Dow Jones):

Retorno_DJ = risk free + β_DJ × (Retorno _DJ – risk free) …onde  β_DJ  é igual a 1, já que o estamos definindo com relação a este portfólio eficiente que se confunde com o mercado.

Historicamente entre os anos de 1990 e 2011, independentemente dos valores iniciais e finais, tivemos que Risk Free (baseado na taxa Libor na (Figura 37), mas poderia ser um Título Público) foi em média 4.32% aa enquanto que o Índice DJ rendeu 10,54% aa e que o Desvio Padrão _DJ no período foi de 4.31%. Assim, com dados em eventos por uma longa história, assumidos como eventos esperados no futuro, fica descrita as relações de risco e retorno do portfólio ideal de risco:

r_DJ = risk free rate + β_DJ × (Prêmio por risco) = risk free rate + β_DJ × (6.21%)

A seguir vamos explorar algumas consequências do uso dessa  Reta do Mercado de Capital.

Efeito Redutor do Risco ao combinar Ações

Ao combinarmos duas ou mais ações, é possível provocar um efeito estatístico de atenuação da volatilidade.  Vejamos o efeito de montar portfólios de ações Dow e Pepsi, onde X_dow é a participação percentual de ações Dow no portfólio, e , obviamente, (1-X_dow) é a participação das ações da Pepsi.

Desvio Padão do Portfólio DOW e PEP = ρ_portfólio

ρ_portfólio = (ρ_dow² × X_dow² + (1-X_dow)² × ρ_pep² + 2 × X_dow×(1-X_dow) × ρ_pep.dow × ρ_dow  × ρ_pep )^0.5

Se usarmos os dados históricos entre janeiro de 1990 e novembro de 2011, teremos o gráfico já discutido no resumo estatístico.

A curva de todos os portfólios formados por ações Dow e Pepsi apresenta alguns desvios padrões que são inferiores tanto ao Desvio Padrão dos retornos das ações Dow quanto aos das ações Pepsi.

Para um portfólio maior esse efeito redutor continua acontecendo com o limite estabelecido pelos riscos de mercado que implicam em efeitos semelhantes a todos as ações e que, portanto, não podem ser eliminados.

Retorno Esperado de uma Determinada Ação

Um investidor eficiente somente investirá em uma única ação se ela estiver na reta do Mercado de Capital (adequando risco e retorno). Se tomarmos qualquer ação individualmente ao longo do tempo, é possível se estabelecer sua relação com o retorno do portfólio de risco ideal (assumido como DJ) e a taxa Risk Free. Se tomarmos os retornos das ações Dow de janeiro de 1990 e novembro de 2011 teremos:

Retorno esperado do Portfólio ideal = risk free + βdow × (Retorno DJ – risk free)

Custo do Equity Dow = risk free + βdow × (Retorno DJ – risk free)

Ou seja, para atrair capital para a Dow Chemical, seus projetos devem precisam remunerar a taxa sem risco (risk free ~ Libor, Letras do Tesouro) mais a diferença entre o retorno esperado num portfólio ideal (assumimos DJ) multiplicado pelo fator de risco relativo das ações da Dow contra as ações do portfólio.

Onde β_dow pode ser estimado de diversas maneiras:

(1) Cálculo do Beta (β) pela fórmula com dados da (Figura 39) e (Figura 40):                                 βdow = cov(dow,dj) / var(dj) =          0.2758% / 0.1858% =                           1.484

            βpep = cov(pep,dj) / var(dj) =           0.1329% / 0.1858% =                           0.715

(2) Beta’s também podem ser estimados com base geométrica, ou seja, com base na fórmula gráfica da equação linear da dispersão relativa dos retornos das ações da Dow contra os  retornos do portfólio Dow Jones:

Neste caso o β_dow seria igual ao coeficiente da dispersão entre os retornos mensais anualizados da Dow versus os do Portfólio assumido ideal: ou seja β = 1,4843.

Assim o custo do Equity para a Dow seria:

Cost of Equity DOW = risk free+ βdow × (Return DJ – risk free)

Custo do Equity DOW = 4.32%+ 1,4843 × (8,17% – 4,32%) = 10,03%

O investidor menos avesso a risco investirá em ações Dow se pelo menos puder esperar um retorno de 10.03%.

E de forma semelhante para a Pepsi:

…ou seja β = 0,7155.

E o custo do Equity para a Pepsi seria:

Cost of Equity _PEP = risk free+ β_pep × (Return DJ – risk free) =

Cost of Equity _PEP= 4.32% + 0.7155 × (8.17% – 4.32%) = 7.07%

Já para o Portfólio de referência teríamos o seguinte:

Obviamente um β = 1, por definição.

E o custo do Equity para a DJ seria:

Cost of Equity _DJ = risk free+ β_DJ × (Return _DJ – risk free) =

Cost of Equity _DJ = 4.32% + 1 × (8.17% – 4.32%) = 8.17% pois é a referência e o portfólio no ponto tangencial reta com a curva de portfólios eficientes quanto a risco e retorno.

Assim, ações que tem alta correlação tem covariância muito próxima da variância de cada uma e não formam um bom conjunto no portfólio que objetiva reduzir risco (Variância), isto é, formam um portfólio provavelmente distante da linha fronteira de eficiência que mostramos no gráfico logo abaixo.

Outro aspecto que observamos é que certas ações tem alguma tendência de movimento contrário ao mercado. Uma das ações que analisamos (Pepsi) tem este tipo de comportamento. Por esse motivo o β da Pepsi é menor que uma unidade. Um β menor que a unidade faz com que o retorno equivalente necessário para os projetos dessa empresa possa ser menor que o retorno esperado para o próprio mercado.

Assim, apesar de não detalharmos o desenvolvimento teórico do modelo (de estimativa do custo do capital próprio CAPM) indicamos os parâmetros básicos do seu conceito e dos seus principais cálculos.

Breves insights da teoria de Modigliani e Miller

Modigliani e Miller (MM) apresentaram um teorema em 1958 de que numa economia competitiva, livre de imposto, de custos de falência e com decisões lógicas e uniformes dos investidores,  as estruturas de capital seriam irrelevantes ao valor da empresa.  O que vamos fazer a seguir é mostrar os principais insights resultantes dessa teoria:

A teoria estabelece que, dado o valor presente de um fluxo de caixa definindo o valor de um ativo real, o fato de dividi-lo em partes não altera seu valor. Assim deixando o ativo real com investimento alavancado ou não, não altera seu valor.

Se por exemplo, num país sem impostos, um indivíduo é dono de 100% das ações de uma empresa e de 100% da dívida da empresa, este indivíduo é dono da empresa. Assim, supondo que não haja impostos, caso ele decida alterar a estrutura de capital da empresa, diminuindo dívida e aumentando capital próprio, o valor da empresa não pode ser alterado pois o valor depende da capacidade da empresa gerar fluxo de caixa ou retorno. Assim o Custo de Capital da Empresa (= r _{ativos reais} = r _{Portfólio de Divida e Equity )} não pode ser alterado.

Suponha que esta firma tenha 60% em equity e 40% em dívida e que o retorno esperado do equity seja de 20% e o custo da dívida de 10%

Assim r _{ativos reais} = D/V × r _D + E/V  × r _E

r _{ativos reais} = 40% × 10% + 60%  × 20% = 4% + 12% = 16%

Se esta empresa tem um projeto de aumentar seu próprio negócio e decida que este investimento será feito com capital próprio, o retorno esperado da empresa  r_{ativos reais} não muda, mas como a empresa agora está menos alavancada ela oferece menor risco. Então suponha que a empresa passa a ter70% de capital próprio e 30% de dívida, o que deve acontecer com o custo do equity, caso o custo da dívida, pelo menor endividamento caia para 8%?

r _{ativos reais} = 30% × 8% + 70%  × r _E = 2.4% + 70%  × r _E  = 16% => r _E  = 13.6% / 70% = 19.4%

Assim, embora o retorno esperado da firma não mude, tanto o retorno esperado do seu equity quanto o da sua dívida caem.

Vamos ver o que acontece com o risco da empresa no caso de mudança  na estrutura de capital. Numa empresa há riscos, e embora o risco do equity seja muito maior que o risco da dívida, existe algum risco nesta dívida. Novamente, se

r _{ativos reais} = RF + β_{ativos reais} × (r_DJ – RF)

r_E = RF + β_E × (r_DJ – RF)

r_D = RF + β_D × (r_DJ – RF)

Como r_{ativos reais} permanece inalterado o que mudam são r_E e r_D

r _{ativos reais} = D / (D + E) × r _D + E / (D + E) × r _E

r _{ativos reais} = D / (D + E) × [RF + β_D × (r_DJ – RF)]+ E / (D + E) × [RF + β_E × (r_DJ – RF)]

onde (r_DJ – RF) = MP = Market Premium over Risk Free e D+E = Value (V)

r _{ativos reais} = D / V × [RF + β_D × MP] + E / V × [RF + β_E × MP]

r _{ativos reais}  × V = D × RF + D × β_D × MP + E × RF + E × β_E × MP

r _{ativos reais}  × V = (D + E) × RF + D × β_D × MP  + E × β_E × MP

r _{ativos reais}  × V =V × RF + D × β_D × MP  + E × β_E × MP

r _{ativos reais}  =  RF  +  D/V × β_D × MP  + E/V × β_E × MP

r _{ativos reais}  =  RF  +  ( D/V × β_D  + E/V × β_E  ) × MP

β_{ativos reais} = D/V × β_D  + E/V × β_E 

Dessa forma, supondo que RF =8% e MP = 6% temos que:

r _{ativos reais} = RF + β_{ativos reais} × (r_DJ – RF) = 16%

r _{ativos reais} = 8% + β_{ativos reais} × 6% = 16%

β_{ativos reais} = 8% / 6% = 1.33

E antes do projeto teríamos:

r_D = 8% + β_D × 6% = 10%

β_D = 2%/6% = 0.333

Seguindo-se no mesmo caso acima antes do projeto:

β_{ativos reais} = 40% × 0.333 + 60% × β_E  = 1.33

β_E  = (1.333 – 0,13333)/60% = 2.0

ou de outra forma:

r_E = RF + β_E × (r_DJ – RF) = 20%

8% + β_E × 6% = 20%

β_E  = 12%/6% = 2.0

Calculemos agora o impacto nos ricos com o investimento no projeto:

RF =8% e MP = 6% obviamente são os mesmos:

Assim como os retorno e risco da empresa.

β_{ativos reais} = 1.33

Mas o retorno esperado da dívida mudou r_D = 8% + β_D × 6% = 8% e consequentemente seu risco

β_D = 0%/6% = 0

e  para o equity:

r_E = RF + β_E × (r_DJ – RF) = 19,4%

8% + β_E × 6% = 19,4%

β_E  = 11,6%/6% = 1.9333

Isto é, tanto o retorno quanto o risco da dívida e do equity caíram pelo fato da Dívida sobre o Valor ter caído, mas como o peso do equity no valor aumentou, nada mudou no real asset (a empresa).

Num extremo, com 100% de ativo, tanto os retornos quanto os riscos do equity se reduziriam até se confundir com os do asset.

No outro extremo, a firma 100% endividada teria um custo da dívida igual ao retorno esperado da firma e o risco da dívida subiria até confundir-se com o risco da firma.

Assim, num economia ideal e sem impostos, a estrutura de capital não deve afetar o retorno ou o risco da empresa.

Métodos de cálculo do custo de capital da Empresa (WAAC e APV)

Uma empresa num mundo com riscos requer alguns ajustes nas fórmulas derivadas das propostas de Modigliane e Miller.

r _{ativos reais} = D / (D + E) × r _D + E / (D + E) × r _E …ou

r _{ativos reais} = D / V × r _D + E / V × r _E … com ativos reais sendo fixo qualquer seja D/V ou E/V

passa a ser:

WACC = D / V × r _D × (1 – TAX) + E / V × r _E …com WACC < r _{ativos reais}

Em outras palavras, temos uma taxa de desconto da empresa potencialmente variável e diferente do custo de oportunidade da empresa ( r _{ativos reais} ).

Assim, o uso da derivação do WACC a partir de dados estatísticos, pressupõe a manutenção da estrutura de capital similar às que geraram os dados. A indiferença proposta por MM já não mais se sustenta. Assim o método WACC, embora sendo o mais usado pelos analistas, nos traz essas limitações e, pode provocar erros importantes se for usado fora das suas limitações. O WACC tem que ser usado dentro de uma determinada e fixa estrutura de capital.

Como alternativa  a este método, existe o método APV (Adjusted Present Value), que não resolve o problema da estrutura rígida de capital, mas que, por ser mais didático, pode evitar que se cometam os erros típicos de quem se utiliza do WACC sem o devido conhecimento de suas limitações:

O método APV propõe que se avalie um projeto de uma empresa como se ele fosse totalmente desalavancado, ou seja, como se ele fosse  totalmente financiado por equity.

Em seguida adicionam-se as vantagens fiscais por haver possibilidade de financiá-lo, caso seu risco seja semelhante ao risco da empresa, ao nível da alavancagem da empresa.

Sumarizando os métodos para avaliar um projeto ou uma firma:

WACC aplica a seguinte metodologia:

1. Estime o fluxo de caixa alavancado do Projeto ou Firma.
2. Calcule o Valor Presente (PV) do fluxo de caixa usando uma taxa de desconto ajustada ao risco, o qual varia com o grau de endividamento que atribuamos ao projeto.

APV use a seguinte metodologia:

1. Estime o fluxo de caixa desalavancado do Projeto ou Firma.
2. Use quaisquer métodos para calcular o Valor Presente do Projeto ou Firma como se a firma fosse financiada apenas com capital próprio (equity).
3. Adicione o valor do Escudo Fiscal (Tax Shield) associado ao financiamento via dívida, pois o pagamento da dívida faz com que haja um imposto menor que no projeto desalavancado.  

Em ambos os métodos, além das dificuldades de se compreender os fluxos de caixa do projeto, existe esta dificuldade primordial de se definir as taxas de desconto e risco.

Lembrando-se que equity é sempre definido como o valor de mercado das ações, não o valor de livro que é apenas uma ilustração contábil dessa variável.

O analista financeiro que pretende utilizar o método WACC (ou o APV) precisa entender como os impostos alteram os vários componentes do balanço da firma valorizado a mercado em termos de taxa de retorno esperado e risco.

Um balanço para esse fim, mas sem impostos seria assim:

Ativos	Passivos
	Dívida = D
Ativos = D + E	Equity = E

Figura 42

Um balanço para esse fim, mas com impostos seria assim, sendo T_rate = Taxa de imposto efetiva da corporação, sendo que TX é o valor presente das reduções de impostos devidos à existência de dívida:

Ativos	Passivos
Escudo Fiscal (TX) = TX	Dívida = D
Ativos Desalavancados (AD) = D + E – TX	Equity = E

Figura 43

Quando apresentamos as ideias de Modigliani e Miller no item anterior, mostramos que o valor da firma é o valor da firma desalavancado.

r _{ativos reais} = D / (D + E) × r _D + E / (D + E) × r _E

β_{ativos reais} = D / (D + E) × β_D  + E / (D + E) × β_E 

… e como normalmente β_E é muito pequeno, se aproximando de Risk Free (β = 0) para a mairoia dos Blue Chips, podemos aproximar essa equação de:

β_{ativos reais} =  E / (D + E) × β_E

…que ao isolarmos o Beta do equity se transforma em:

β_E = ( 1 + D / E) × β_{ativos reais}  

…lembrando que D+E=V (valor real não contábil).

Vamos assumir, nesta empresa, um imposto estável, da forma TX = D × T_rate,sendo T_rateuma constante.

O retorno esperado (WACC) da empresa alavancada pode ser menor que o retorno do capital próprio mais o retorno da dívida, devido ao escudo fiscal.

WAAC = D / (D + E) × r _D + E / (D + E) × r _E – (D × T_rate) / (D + E) × r _D

WAAC = E / (D + E) × r _E  + (D – D × T_rate) / (D + E) × r _D

WAAC = E / (D + E) × r _E  + (1 – T_rate) × D / (D + E) × r _D

WAAC = w_E × r _E  + w_D × (1 – T_rate) × r _D  …onde w_E = % de equity e w_D = % de dívida.

Do ponto de vista de risco temos:

β _fima= AD / (D + E) × β_AD  + TX / (D + E) × β_TX  

E como em função do beta da dívida, e também do escudo da taxa ser quase nulo:

β_{ativos reais} =  E / (D + E) × β_E …e: TX / (D + E) × β _TX  ~ 0

Temos:

E / (D + E) × β_E = AD / (D + E) × β_AD  + TX / (D + E) × β _TX   … que simplificada produz:

E / (D + E) × β_E = AD / (D + E) × β_AD  + 0  

E × β_E = AD × β _AD   … e substituindo o valor de AD

E × β_E = (E + D – D × T_rate) × β _AD  

β_E = [1 + (1 – T_rate) ×  D / E] × β_AD

Estas equações têm algumas consequências muito importantes. Como o Beta da empresa não alavancada (β_AD ) não varia com a alavancagem (dívida versus capital total) ou com o imposto, então, se tomarmos um determinado endividamento (D/E = constante) o Beta do equity aumenta conforme o imposto diminui, e chega a seu máximo quando o imposto é zero. Também o Beta do equity aumenta com o aumento da dívida.

Assim, a equação “WAAC = w_E × r _E  + w_D × (1 – T_rate) × r _D”quando aplicada em projetos, precisa manter no projeto o mesmo endividamento e taxa de impostos usados na empresa, pois alterações nesses parâmetros alterariam sobremaneira o WACC por alterarem o β_E e, consequentemente, o r _E  esperado.

Sem dúvida o método WACC é o mais utilizado na vida prática. Entretanto na bibliografia consultada, pareceu-me unanimidade a preferência pelo método APV (Adjusted Present Value) do ponto de vista acadêmico.  A razão para esta preferência prática distinta da acadêmica me parece ser bem simples. Numa grande empresa, como as multinacionais, ao aplicar-se o WACC, o cálculo do custo de capital é deixado para um grupo mais sênior de Financistas e os demais analistas apenas se preocupam com a correta avaliação dos fluxos de caixa sem alavancagem financeira. Algumas dessas empresas tentam atribuir certas diferenciações nas taxas de desconto do capital, classificando-as quanto ao risco derivados dos negócios ou das geografias, enquanto outras empresas definem um taxa única que passa a ser o balizamento para se aprovar ou rejeitar um projeto do ponto de vista financeiro.  O método APV pode simplificar a discussão teórica sobre taxa alavancada e sendo teoricamente mais elegante. Entretanto a facilidade se aplicar uma metodologia uniforme em toda empresa, é razão suficiente para o contínuo sucesso do método WACC.

Vamos a um exemplo de cálculo de custo de capital:

Exemplo de Cálculo do WACC

Cálculo do WACC da The Dow Chemical Company

Em primeiro lugar é preciso se identificar  algumas variáveis financeiras da empresa (dados extraídos de informações públicas disponibilizadas aos acionistas):

A alavancagem típica da Dow é de aproximadamente 30% de Dívida sobre o Capital total a mercado.

Embora, neste período, a média de impostos sobre lucro tenha sido de 23%, por ser uma empresa americana sua taxa de imposto de renda marginal deve estar por volta de 33%.

O custo do Equity da Dow já foi calculamos nas explicações do método CAPM:

Cost of Equity _DOW = risk free+ β_dow × (Return _DJ – risk free)

Taxa Esperada para Equity _DOW = 4.32%+ 1,4843 × (8,17% – 4,32%) ~10,0%

Como a Dow é uma empresa BBB ela consegue levantar recursos de longo prazo um pouco acima do custo risk free (RF+2), o que daria algo em torno de 6 % aa em 2011. No ano do cálculo (2011) as taxa de curto prazo estiveram  menores, mas as de longo prazo permaneceram no patamar indicado.

WAAC = w_E × r _E  + w_D × (1 – T_rate) × r _D

WAAC_DOW = 70%× 10.0% + 30% × (1 – 33%) × 6% = 8,2%

Assim, definidos os princípios teóricos das metodologias de cálculo e utilização do custo de capital passaremos a sua utilização como ferramenta de avaliação econômica.

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Continuação de texto inédito

Taxa nominal como artifício para desconto de fluxos contínuos constantes

Primeiramente devemos definir fluxo uniforme e fluxo contínuo de caixa. Até este momento tratamos de fluxos discretos que ocorrem no final de cada período. Na prática da empresa os fluxos de caixa não são discretos do ponto de vista anual (talvez sejam discretos a nível diário). Basicamente também não são uniformes. Entretanto, principalmente no planejamento de mais longo prazo, assumi-los contínuo, isto é, ocorrendo uniformemente durante cada ano e divididos em infinitos períodos durante um ano, aproxima-se bastante dos resultados de valorização a nível diário. Claro que imaginar um fluxo discreto no meio do ano também não prejudica muito a qualidade da análise para um projeto de vários anos de duração. Mas o fluxo contínuo será mais próximo da realidade.

A matemática que desenvolveremos a seguir pode ser um pouco complicada na sua demonstração, mas proporciona uma modelagem simples ao analista. A planilha de um fluxo de caixa diário feita para 10 anos teria mais de 3500 períodos e esgotaria o número de colunas do Excel. Com o uso da matemática que veremos a seguir, a planilha pode conter apenas 10 períodos anuais e ainda assim representar fluxos próximos aos diários, desde que uniformemente distribuídos dentro de cada período. Frequentemente essa uniformidade durante o ano é uma hipótese razoável para a vida futura da empresa ou negócio, ao menos para planejamento.

Considerar um fluxo contínuo significa dividir o fluxo monetário de caixa anual (montante simplesmente somado de dinheiro no período) em infinitas parcelas uniformes, seja para se fazer o cálculo do valor presente, ou para identificar a uma eventual taxa interna de retorno decorrente de um investimento inicial.

O principal artifício que se usa nesta matemática é a definição de Taxa Nominal Contínua de Desconto (ou de Juros).

Taxa Nominal (chamaremos de TN’) pode ser definida a partir da taxa real  (r) da seguinte forma:   TN’ anual capitalizada a cada um de n períodos é tal que (1 + TN’ / n)ⁿ – 1 = r,

ou seja, se n = 2 períodos, dada uma taxa nominal TN’=10%, sua taxa real correspondente seria calculada dessa forma:

[(1 + 10% / 2)² – 1] = r = 10.25%;

se n = 4 períodos dentro de um ano, uma taxa nominal de 10% capitalizada trimestralmente seria:

[(1 + 10% / 4)⁴ – 1] = r = 10.3812891%; e assim por diante.

Demonstrações rumo à Taxa Nominal Contínua

Se formos aumentando o número de subdivisões do período a ponto de que o mesmo vá tendendo ao infinito, nós estaremos definindo a taxa nominal contínua, que chamaremos simplesmente de TN.

A relação desta TN com a taxa anual “r” real seria tal que: [(1 + TN / n)ⁿ – 1] = r, com o número de subdivisões (n) dentro do ano tendendo ao infinito.

Matematicamente, essa relação é descrita como: r = lim_n>∞ [(1 + TN / n)ⁿ  ] – 1 (podemos colocar “-1” fora do limite já que é independente de “n”.

Em seguida demonstraremos que essa expressão “lim_n->∞ [(1 + x / n)ⁿ  ]” é uma das formas de se definir e^x (usando x  no lugar de TN, representando uma variável qualquer).

É bem divertido trabalhar-se com essa matemática, já que ela está ligada à trigonometria parabólica, base matemática para as transformadas de Lorenz, matemática fundamental para a Teoria da Relatividade de Einstein.

Para provar o que queremos, temos duas demonstrações a fazer:

• Demonstrar que d/dx (e^x )= e^x
• Demonstrar que e^x = lim_n>∞[(1 + x / n) ⁿ]

Primeira Demonstração: Prova de que d/dx (e^x )= e^x

Por definição de derivada de uma função f(x) = x dizemos que:

d/dx x =  lim _h->0 {  [ (x + h) – (x) ] / h}.  

Portanto a derivada da função f(x) = e^x  analogamente será:

d/dx e^x = lim _h->0  {[e^{x + h}  –  e^x] / h} = lim _h->0  [e^x × (e^h – 1) / h].

Mas como e^x  é uma constante em relação à variável “h”, seu limite em relação a qualquer valor de “h” é ela mesma. Assim a própria função e^x pode ser posta em evidência fora do limite relativo à variável “h”:

d/dx e^x = e^x . lim _h->0   [(e^h – 1)/h]  (para terminar a demonstração de que d/dx (e^x )= e^x precisamos imaginar que existe algum valor para “e”  tal que o limite que compõem a igualdade acima, que multiplica o fator e^x , tenha uma convergência para a unidade).

De fato, para o neperiano e=2,718281828459045… o lim _h->0  [(e^h – 1)/h]  converge a 1 e, portanto para este valor de e, d/dx e^x = e^x .

A determinação do valor do número neperiano “e” pode ser feita de forma geométrica.

Vamos lá:

Comecemos num ponto específico (x=0). Pela definição de derivada, temos que:

d/dx e⁰ = e⁰ . lim _h>0   (e^h – 1)/h = 1 . lim _h>0  [( e^h – 1)/h] = lim _h>0   [(e^h – 1)/h]

Se na expressão d/dx e^x = e^x . [lim _h>0   (e^h – 1)/h] substituirmos o fator [lim _h>0   e^h – 1]/h  por d/dx e⁰, teremos: d/dx e^x = e^x . d/dx e⁰

Portanto, geometricamente d(e⁰)/dx é a tangente da função y=e^x no ponto onde x=0 e y=1 (pois neste ponto  y = e⁰ = 1).

Então, para x=o, o número “e” é tal que a função y=e^x tem sua tangente y=1. Assim ao usarmos a equação d/dx e^x = e^x . d/dx e⁰ no ponto onde x=0 teremos:

 y = d/dx e⁰ = 1. [lim _h>0   e^h – 1] / h = 1.

Assim, para valores muito pequenos de “h” teremos:

(e^h -1)/h ~ 1 => e^h – 1 ~ h =extraindo a raiz h=> e = (1 + h) ^1/h.

Portanto podemos definir “e” como:

e = lim_h>0 [(1 + h) ^1/h].

Se chamarmos h = 1  / n podemos escrever que: e=lim_n>∞[(1 + 1 / n) ⁿ] e testar a convergência de “e” como mostrado na tabela:

Observamos que existe uma convergência de “e” quando “h” tende a zero ou quando “n=1/h” tende a infinito. Esta convergência define o valor do número neperiano ”e”, um número irracional que vale aproximadamente 2,718281828… 

Portanto, para um número e = 2,718281828…, d/dx e^x = e^x × d/dx e⁰,sendo este segundo fator d/dx e⁰ a tangente de y = e^x com x = 0 e, assim, onde y = 1, estabelecendo que:

d/dx (e^x) = e^x  × 1 => d/dx e^x = e^x

No apêndice ao final do livro, ofereço uma demonstração mais elegante dessa igualdade.

Segunda Demonstração: Prova de que e^x = lim_n>∞[(1 + x / n) ⁿ]

Nessa demonstração testaremos se a expressão é verdadeira para vários valores de “x”:

Assumindo x=0 temos que e⁰ = lim_n>∞[(1 + 0 / n) ⁿ] => 1 = lim_n>∞[(1) ⁿ] => 1= lim_n>∞[(1)] => 1 = 1  => verdadeira

Assumindo que  x=1 e¹ = lim_n>∞[(1 + 1 / n) ⁿ] => verdade como demostrado durante a Parte I acima

Assumindo-se x=2 => e² = lim_n>∞[(1 + 2 / n) ⁿ] =>  e = lim_n>∞[(1 + 2 / n) ^{n / 2}] que pode ser provado por consecutivos aumentos de “n” (Figura 8) como fizemos na Parte I:

De forma similar tratamos outros valores de x. Por exemplo, x=5 (Figura 9 ) =>

 e⁵ = lim_n>∞[(1 + 5 / n) ⁿ] =>  e = lim_n>∞[(1 + 5 / n) ^{n / 5}]

E assim por diante procedemos para vários valores de  x e sempre encontramos que a expressão e^x = lim_n>∞[(1 + x / n) ⁿ] é verdadeira. Claro que há maneiras mais elegantes de se demonstrar, via teoremas, que  e^x = lim_n>∞[(1 + x / n) ⁿ, mas a prova já nos basta.

Recomendo cuidado ao se utilizar da planilha Excel para esses cálculos. É necessário lembrar-se que existe um limite de algarismos significativos com que o Excel trabalha. Dependendo do cálculo sendo feito, se ultrapassado este limite, erros significativos podem ser gerados.

Taxa Nominal Continua

Feitas as demonstrações ou comprovações podemos retomar o início desse capítulo onde tínhamos a definição de taxa real a partir do limite da taxa nominal com períodos “n” tendendo ao infinito:

r = lim_n>∞ [(1 + TN / n) ^{n ]} – 1          

Ao combiná-la com a equação demonstrada na Parte II acima, ou seja, com a expressão

e^x  = lim_n>∞[(1 + x / n) ⁿ] e onde x seria TN, conseguimos:

r = e^TN – 1

Assim fica definida a relação entre taxa anual real e taxa nominal contínua, sendo “e” o número irracional neperiano 2,718281828459045…

A simples inversão da ordem da igualdade oferece a fórmula: eTN = (1 + r) que implica pela definição de logaritmo em: TN = ln(1 + r), i.e. temos a relação entre taxa nominal e função taxa

real de juros. 

A (Figura 10) mostra um gráfico da relação entre “TN” e “r”. Essa taxa nominal é um poderoso artifício na modelagem de fluxos contínuos com a utilização de fluxos de caixa médios dos períodos. Mostraremos a utilização deste artifício um pouco mais adiante.

Cálculo do valor presente de um fluxo contínuo perpétuo

Para uma anuidade de infinitos períodos e discreta de valor “A” que ocorre ao final de cada ano, já provamos que: PV=A/r. Analogamente será que poderemos dizer que PV=A/TN? Vejamos:

Se essa anuidade  de infinitas parcelas de valor A, ao invés de ocorrer ao final de cada ano, ocorrer semestralmente, podemos escrever:

PV=(A / 2)/[(1 + r)^1/2 -1]

Se continuarmos a subdividir a ocorrência do valor monetário “A” em períodos menores, dividindo o ano, genericamente, em n parcelas, teríamos que:

PV=(A / n)/[(1 + r)^{1 / n}  – 1] ou ainda que: PV=A × {1 / {[(1 + r)^{1 / n}  – 1] × n}}

Agora se levarmos a divisão dos períodos até que n => ∞, com o objetivo de definir um fluxo de caixa contínuo, teremos:

PV = A . lim_n=>∞{1 / {[(1 + r)^{1 / n}  – 1] × n};  (caso tal função convirja a um valor de “r”)

Substituindo-se “r” na equação acima pela sua correspondente taxa nominal “TN” (lembrando-se que r = e^TN – 1) teremos:

PV = A . lim_n=>∞ {1 / {[(1 + e^TN – 1) ^{1 / n}  – 1] × n}  ou

PV = A . lim_n=>∞ {1 / {[ e^{TN / n}  – 1] × n}   (caso tal função convirja a um valor de “r”)

Vamos checar se ocorre esta convergência para diversos valores de “ r” e “TN” à medida que aumentamos o número de subdivisões “n” do período:

De fato, as tabelas da (Figura 12) mostram que as duas fórmulas de valor presente de perpetuidades de anuidades iguais e contínuas durante todos os anos, independentemente do valor de “r”,  existem e convergem para 1/TN.

Assim, PV = A × lim_n>∞ {1 / {[ e^{TN / n}  – 1] × n}   = A × (1 / TN) = A / TN

Então se considerarmos uma anuidade “A” ocorrendo em cada ano de forma contínua durante infinitos anos (perpetuidade) resulta em um valor presente PV finito e que pode ser calculado por:

PV = A / TN No próximo item demonstraremos como calcular o valor presente de um fluxo anual contínuo utilizando essa definição de perpetuidade contínua.  

De fato, as tabelas da (Figura 12) mostram que as duas fórmulas de valor presente de perpetuidades de anuidades iguais e contínuas durante todos os anos, independentemente do valor de “r”,  existem e convergem para 1/TN.

Assim, PV = A × lim_n>∞ {1 / {[ e^{TN / n}  – 1] × n}   = A × (1 / TN) = A / TN

Então se considerarmos uma anuidade “A” ocorrendo em cada ano de forma contínua durante infinitos anos (perpetuidade) resulta em um valor presente PV finito e que pode ser calculado por:

PV = A / TN

No próximo item demonstraremos como calcular o valor presente de um fluxo anual contínuo utilizando essa definição de perpetuidade contínua.  

Descontando Fluxos de Caixa Contínuos até determinada data.

Para calcular o valor presente de um fluxo monetário que ocorre continuamente desde a data zero até uma data n, nos devemos começar calculando o valor presente de duas perpetuidades de anuidades monetárias “A” que ocorrem continuamente durante cada ano, utilizando as fórmulas provadas no item anterior nos momentos t₀ e t_n:

PV_t0 = A/TN (I)    e        PV_tn = A/TN (II)

Mas sabendo que PV_tn é também FV_tn e que este pode ser descontado para PV_t0 temos:  

PV _t0 = FV t_n  / e^{TN × n}  = (A / TN) / e^{TN × n} (III)

Para encontrar o valor presente do fluxo contínuo ocorrido até o ano n basta fazer a diferença entre a equação (I) e a equação (II transformada para III). Assim o valor presente do fluxo contínuo de anuidade “A” ocorrido até o ano “n” é dado por:

PV_t0 = A / TN – A / TN / e^{r × TN}

PV_t0 = A / TN – A × e ^{rTN ×  n} / TN, portanto: PVt₀ = A × (1 –  e^{-TN × n} ) / TN  

E ao combinarmos com a relação entre PV e FV (FV_tn = PVt₀  ×  e^{TN × n}  )

FVt_n =  PVt₀  ×  e^{TN × n}  = [A × (1 –  e-TN × n ) / TN] ×  e^{TN × n}    

FVt_n =  PVt₀  ×  e^{TN × n}  = [A / TN] × (1 –  e^{-TN × n} ) ×  e^{TN × n}    

FVt_n =  PVt₀  ×  e^{TN × n} , portanto:  FVt_n = A × (e^{TN × n}   –  1 ) / TN   (IV)

Caso n seja apenas um ano temos que o valor de um fluxo contínuo uma anuidade A que ocorre continuamente durante o não é dado por:

PV= A × (1 –  e^-TN ) / TN

E a partir dessa fórmula podemos definir também o FV desse fluxo anual continuo de anuidade monetária “A” substituído na fórmula acima que transforma PV em FV para um ano  FV = PV ×  e^TN. Assim teremos:

FV= PV ×  e^TN  = [A  × (1 –  e^-TN ) / TN] × e^TN = A  × [e^TN × (1 –  e^-TN )] / TN FV= A  × (e^TN – 1) / TN

Exemplos

Exemplo 1:

Assumindo o empréstimo de $100 (PV) no início do ano e pagando-se no final do ano $100 mais $10 (r = 10%) como remuneração desse empréstimo, calcular esse valor futuro no final do ano de $110 utilizando tanto a fórmula com taxa de juros discreta de fluxos discretos como as fórmulas de juros de juros contínuos.

1. O próprio texto define o valor futuro: PV($100) + juros pagos no final do ano (10$) = FV($110)
2. Podemos calcular esse valor utilizando a fórmula de juros discretos:                      FV = PV × (1 + r)ⁿ, ou FV = 100 × (1 + 10%)¹ => FV = 100 × 1.10 = $110.
3. Podemos calcular esse valor utilizando a fórmula de juros contínuos, mas para isto precisaremos antes converter a taxa de desconto ou de juros reais para a taxa de desconto ou de juros nominal contínua:                                                                   TN = ln(1 + r) => TN = ln(1 + 10%) => TN = 9.531018.                                     Em seguida podemos aplicar a equação de juros contínuos:                                  PVt₀ = FVt_n  / e^{TN × n} ; mas como n=1 podemos escrever:                                              FV = PV × e^{TN × 1}  => FV=100 × [2.71828 ^9.531018…%] = $110

Exemplo 2:

Imagine um fluxo de caixa contínuo de valor monetário $100 que ocorre apenas durante o 10º ano. Qual o valor presente desse fluxo a uma taxa real de 9.531018%.

1. A fórmula de calculo de uma única anuidade contínua futura e dada por:     PV_t0 = A  × (e^TN – 1) / (TN × e^{TN × n} )
2. As variáveis são: A = $100; n = 10; r = 10,517069% portanto TN = ln(9.531018% + 1) = 10%
3. Então: PV_t0 = $100  × (e^10% – 1) / (10% × e^{10%× 10} ) = $38,69

Exemplo 3:

Imagine um fluxo anual contínuo de 10 anos com anuidades iguais de valor monetário de $100. Qual o valor presente desse fluxo a uma taxa real de 9.531018%.

1. Nesse caso a fórmula para calculo de um fluxo de caixa contínuo de valor monetário anual de $100 é dada por: PVt₀ = A × (1 –  e^{-TN × n} ) / TN
2. As variáveis são: A = $100; n = 10; r = 10,5178069% portanto TN = ln(9.531018% + 1) = 10%
3. Então: PVt₀ = 100 × (1 –  e^{-10% × 10} ) / 10% = $ 632.12

Sumário das fórmulas de matemática da avaliação econômica da apuração da criação de valor

Definição de taxa real de desconto a partir da taxa nominal:  r = e^TN – 1

Definição de taxa nominal a partir da taxa real de desconto:  TN =  ln(1 + r)

Fórmula relacionando PV e FV com taxa nominal:  PV_t0  =  FVt_n  / e^{TN  × n}  

Fórmula relacionando FV e PV com taxa nominal:  FVt_n = PV_t0 × e^{TN  × n}  

Valor presente de uma perpetuidade A contínua: PV_t0 = A/TN

Valor presente de anuidades e iguais contínuas até  o ano “n”: PVt₀ = A ×(1 –  e^{-TN × n} ) /TN

Valor futuro de anuidades iguais e contínuas até  o ano “n”: FVt_n =  A × (e^{TN × n}   –  1 ) / TN 

Valor presente (t₀)  da anuid. A contínua do ano “n”: PV_t0 = A  × (e^TN – 1) / (TN × e^{TN × n} )

Valor futuro da an. A contínua no ano “n”: FVt_n = A × e^TN  × (e^TN – 1) / (TN × e^{TN × n} )

Valor Monetário Anual  A no ano n= f(PVt₀): A = PV_t0  ×  TN /  (1 –  e^{-TN × n} )

Valor Monetário Anual  A no ano n= f(FVtn): A = FVt_n  / e^{TN  × n} ×  TN /  (1 –  e^{-TN × n} )

   A = FVt_n ×  TN / (  (1 –  e^{-TN × n} ) × e^{TN  × n}  )

   A = FVt_n ×  TN /  (e^{TN  × n}   –  1)

continua texto inédito

Descontos de Fluxos Discretos (Matemática Financeira Básica)

Grande parte das projeções de projetos ou até de uma empresa podem ser simplificados em fluxos discretos anuais. A matemática financeira associada é fundamental para quem quer ser um Avaliador Econômico. Mas o que são esses fluxos discretos?

Fluxos discretos de Caixa são fluxos que ocorrem instantaneamente, muitas vezes periodicamente entre intervalos regulares, como todo final de mês, de trimestre ou de ano. Um exemplo seria o de uma pessoa que dispõe de uma poupança e a compra de um televisor pretendido. Tente calcular qual entre duas alternativas é a melhor:

(A) Tirar $1000 de sua poupança, evitando as prestações de uma compra a prazo (por exemplo, em 10 parcelas de $105) ou…

(B) Deixar seu dinheiro na poupança, que paga juros de 0.5% ao mês, já livre de imposto de renda e para pagar as prestações essa pessoa irá retirar da poupança, paulatinamente, o necessário para pagar as prestações.

Nas tabelas da (Figura 1) seguem dois tipos de cálculos relativos à opção B. Cada um dos quadros parte de valores iniciais diferentes.

No primeiro quadro partimos do montante que seria da poupança ($1000) equivalente ao valor necessário pagar à vista (que seria a opção A). Mantendo o investimento na poupança e sacando-se o necessário para ir pagando as prestações, mesmo com o rendimento da poupança do que resta investido, no final ficamos devendo $22,80 (Upa! Mau sinal para a alternativa B!).

Na segunda tabela mostramos que para não ficar devendo teríamos que partir de uma poupança maior, de $1021,69 (o valor exatamente necessário, para, como mostrado, ir tirando paulatinamente da aplicação para quitar as prestações).  

A resposta fica clara, nas condições apresentadas é melhor retirar da poupança (Alternativa A) e pagar à vista!

Explicando as tabelas: A primeira coluna indica o momento zero da compra e os momentos de pagamento de cada prestação (portanto de zero a 10). A segunda coluna tem os valores das prestações a serem pagas em cada um dos momentos. A terceira coluna tem o resultado do montante que fica acumulado na poupança em cada momento, já com os juros da aplicação, mas antes de pagar a prestação devida naquele momento, portanto disponíveis para pagamentos das prestações em cada período. A quarta é a mesma coisa, depois de pagar as prestações, ou o que sobra aplicado na poupança para os pagamentos futuros. Vejam que o montante da terceira coluna é igual ao montante do mês imediatamente anterior da quarta coluna mais os juros de poupança de 0.5% ao mês.

Na primeira tabela mostramos que, se partimos do valor da TV à vista, faltará $22,80 para pagar a última parcela. Como se mostra na segunda tabela, em valores de hoje, o comprador precisaria aplicar $1021,69 para garantir que teria dinheiro suficiente para pagar as parcelas. Assim, mesmo sem as fórmulas da matemática financeira, sabemos a resposta: Considerando-se as alternativas disponíveis, pagar à vista é melhor que financiar a compra, e o valor da decisão, na data da compra, é de $21,69.

No cálculo acima as variáveis básicas foram fluxos discretos de caixa e taxa de atratividade ou de juros (representando a alternativa do dono do recurso).

No caso, a taxa de atratividade foi definida como sendo os juros pagos mensalmente pela aplicação da poupança, já descontados impostos, e informados como sendo 0.5% ao mês. Esses juros pagos são incorporados ao montante investido de tal forma que passam a ser remunerados da mesma forma que o investimento original assim que completem cada mês. Em matemática financeira esse efeito cumulativo é denominado dejuros compostos, porque não são pagos como cupons, mas reinvestidos.

Um fluxo de caixa discreto do exemplo ilustrado na ( Figura 2) é definido como sendo:

Figura 2

1. Uma saída de $1000 (que foi tirado da poupança)…
2. … e a partir do mês seguinte 10 entradas iguais e consecutivas de $105 (que são as prestações que foram evitadas).

Convido o leitor a fazer uma pausa para um dos aspectos fundamentais da Avaliação Econômica:

Esse aspecto faz toda diferença na qualidade do aconselhamento. Trata-se do fato de que o avaliador necessita entender a ou as alternativas possíveis de uma tomada de decisão. Na maioria das situações, entender as alternativas possíveis na tomada de decisão não é tão fácil quanto a apresentada neste exercício. De fato, mesmo nesse exercício, nós poderíamos explorar se a poupança é realmente a alternativa melhor possível para quem quer investir os $1000. Ou seja, é fundamental que o avaliador entenda a situação e o negócio da empresa e dos seus donos em profundidade. Sem isto, as técnicas matemáticas não estarão, realmente, maximizando o valor do negócio ou da empresa para seus donos ou acionistas. 

Voltando ao exercício:

Figura 3

Se um investimento (PV) é investido durante “n” períodos a uma taxa de juros “r” por período, a fórmula de cálculo do valor final (FV) a ser pago com juros é dado por:

FV_tn = PV_t0 × (1 + r )ⁿ ; assim $1000 investidos a 0.5% ao mês acumularão no final do primeiro mês $1005 ( $1005 = $1000 × (1 + 0.5%)¹ ); e ao final do segundo mês os mesmos $1000 iniciais já terão rendido $1010,03 ( $1010,03 = $1005 × (1 + 0.5%)¹  ou$1010,03 = $1000 × (1 + 0.5%)¹  × (1 + 0.5%)¹  =  $1000 × (1 + 0.5%)² que demonstra a fórmula acima). Se aplicarmos a fórmula acima, o valor futuro final (no ano “n”) desse investimento “PV” a esta taxa “r” seria: FV_tn = PV_t0 × (1 + r )ⁿ ou FV_t10 = $1000 × (1 + 0.5%)¹⁰ = $1051.14

Já se tivéssemos uma série de prestações iguais e discretas, como as 10 prestações de $105, conforme mostrado na (Figura 3), e reconhecendo-se a taxa de 0.5% ao mês (nossa taxa de atratividade ou juros da opção que temos), nós teríamos valores como o descrito na figura 3.  Essas prestações seriam equivalentes a um valor presente de $1021,69, superior em $21,69 aos $1000 que custa a TV à vista. Na terceira coluna seguem fórmulas de cálculo do valor presente de cada parcela, e na quarta coluna seus resultados. Os $1021,69, são as somas desses valores presentes de cada uma e todas as prestações, ou seja, 2,169% maior que o pagamento à vista. Esse valor presente na data zero de $1021,69 produz um valor futuro na data t=10 de FV_tn = PV_t0 × (1 + r )ⁿ ou FV_t10 = $1021,69 × (1 + 0.5%)¹⁰ = $1073,94. Novamente, o valor no momento t=10 da $1073.94 é 2,169% maior que os $1051,14, valor futuro no mesmo momento t=10 do pagamento à vista. A proporcionalidade da vantagem de uma alternativa se mantém em cada momento de cálculo financeiro, seja na data t=zero, data t=10 ou quaisquer outros momentos. Esta é uma propriedade fundamental da matemática financeira.

Como deve ter percebido o leitor, devido a origem americana da empresa onde trabalheri toda a minha vida, acabei adotando a nomenclatura em inglês. PV é o valor presente (Presente Value) e assim por diante. Isto também me ajuda a facilitar a tradução para o inglês. Quase todas as pessoas formadas em países do mundo falma inglês, mas poucos falam português, não é?

Séries uniformes discretas e perpetuidades

O que você prefere: ter o direito de ganhar $3000 ao mês durante toda a eternidade, eternidade infinita mesmo, ou ganhar $500000 agora?  Você verá que a eternidade não vale tanto quanto parece!

A partir desta questão, vamos ampliar nossas fórmulas da matemática financeira.

Se partirmos de um valor presente de $1000 e desejarmos calcular “n” prestações iguais (chamaremos de P) definidas pela taxa de atratividade (ou juros) de r=0.5% como seria esse cálculo?

Com o objetivo de apresentar outras equações importantes, vamos calcular primeiramente qual o valor presente de uma anuidade perpétua “P” a uma taxa de atratividade “r”. Sim, existe um valor finito e definido na data de hoje,  que corresponde a um fluxo estável que irá ocorrer para sempre. Sabemos que o “para sempre”  como ato humano não existe. Mas, em matemática, o infinito existe, e, veremos que em matemática financeira, o muito longo e o infinito valem quase a mesma coisa. Veremos que, para taxas usuais de mercado, esse muito longo, é muito longo apenas como uma parcela significativa de uma vida humana! Isto não é de surpreender, pois os rendimentos são pretendidos por indivíduos.

O valor presente (PV) de uma perpetuidade (P) descontada a uma taxa de atratividade “r” pode ser descrita através da seguinte série:

PV = P / (1 + r)¹ + P / (1 + r)² + P / (1 + r)³ + … até o infinito.

Se chamarmos 1 /( 1 + r) = x e chamarmos P /(1 + r)  = a, nós podemos reescrever que:

Primeira igualdade: PV = a . (1 + x + x² + x³ + x⁴ +….)

Agora se multiplicarmos ambos os termos por x teremos:

Segunda igualdade: PV . x = a . x (1 + x + x² + x³ + x⁴ +….)= a . (x + x² + x³ + x⁴ +….)

E se agora subtrairmos as duas igualdades anteriores, teremos:

PV – PV . x  = a . (1 + x + x² + x³ + x⁴ +….) – a . (x + x² + x³ + x⁴ +….) ou

PV – PV . x  = a . (1) + a × (x + x² + x³ + x⁴ +….) – a . (x + x² + x³ + x⁴ +….)

Portanto temos que PV . (1 – x) = a . 1

Passemos agora a substituir adequadamente “x” e “a” por suas fórmulas de definição. Assim teremos:

PV . (1 – 1 / (1 + r)) = P / (1 + r)

Se agora multiplicarmos ambos os termos da igualdade por (1 + r) teremos:

PV . (1 + r) × (1 – 1 / (1 + r)) = (1 + r) × P / (1 + r)

PV . ((1 + r) – (1 + r) / (1 + r)) = P

PV . ((1 + r) – 1) = P

PV . r = P

PV = P / r          (Viram! A eternidade não vale tanto assim… para uma taxa de 1% ao mês, infinitas parcelas mensais de $3000 valem $300000. Para valer infinitamente a taxa de desconto teria que ser zero.)

Portanto, depois dessas massagens algébricas, mostramos que o valor presente de uma perpetuidade (P) é dado pela divisão dessa perpetuidade pela taxa de atratividade (ou de juros) por período dessa perpetuidade.

Agora fica mais fácil calcularmos o valor presente de 10 parcelas iguais como diferença de duas perpetuidades: Uma delas calculada como PV de infinitas parcelas iguais calculadas  na data zero (n=0); e a outra como o PV de infinitas parcelas iguais calculadas na data 10 (n=10). Esta última se torna um FV na data 10 que pode ser calculado como PV na data zero:

Valor presente de uma perpetuidade na data t_{0 :}  PV_t0   = P / r

Valor presente de uma perpetuidade na data t_{10 :}  PV_t10   = P / r = FV_t10 que pode ser levada a valor presente na data t₀ : PV_t0 = FV_t10 / ( 1 + r)¹⁰ = P / r / (1 + r)¹⁰;

Subtraindo-se o valor da perpetuidade desde a data t₁₀ e desde a data t₀ teremos o valor presente das 10 parcelas iguais:

PV= (P / r) –  P / r /(1 + r)¹⁰

PV= (P / r) × ( 1 –  1 / (1 + r)¹⁰ ) 

Figura 4

Genericamente temos que o valor presente de uma anuidade constante durante “n” períodos é dado por:

PV= (P / r) × ( 1 –  1 /(1 + r)ⁿ )

E, por simples manipulação algébrica, se isolarmos o valor de prestação constante “P” em função de “PV” tem-se:

P = PV × r / ( 1 –  1 /(1 + r)ⁿ )

E no exemplo acima, com PV=$1000; r= 0,5% e n=10 pode-se calcular P:

P = $1000 × 0,5% / ( 1 –  1 /(1 + 0,5%)¹⁰ ) = $102.77; e demonstrarmos na ( Figura 4) que o valor futuro equivale ao valor futuro de $51.14 acima do investimento, conforme indicamos na Figura 1.

Lembram-se da perpetuidade quando calculamos que para uma taxa de 1% ao mês, infinitas parcelas mensais de $3000 valem $300000? Pois bem em 6 anos esses mesmos 1% ao mês e as  parcelas mensais de $3000 valem $153451 (ou mais da metade do valor hoje da perpetuidade). Em 40 anos com as mesmas parcelas de $3000 e uma taxa de 1% ao mês, valem hoje $297472 ou pouco mais de 99% do valor presente da perpetuidade. Ou seja, uma anuidade que ocorre a partir do primeiro mês do ano 41º vale apenas menos que 1% que o valor presente da perpetuidade. Assim taxas reais de mercado tendem a definir perpetuidade como o tempo que o ser humano está disposto a esperar pelos resultados? Será que com o aumento da expectativa de vida deveria ocorrer uma baixa na taxa de juros? Pense nisto!

Bem, caro executivo de qualquer área, apresse-se, pois em finanças o tempo é seu inimigo, a menos que você trabalhe com compras ou contas a pagar e seu fornecedor não leu este tipo de livro.

Normalmente as taxas de desconto são premissas, mas, às vezes, queremos calcular taxas “internas” de diferentes alternativas para compará-las com uma determinada “taxa de atratividade”, ou seja, nossa taxa de referência para as decisões (discutiremos esse conceito em outro capítulo). As fórmulas de cálculo das taxas de juros a partir das outras variáveis envolvem conhecimento de radiciação e logaritmos:

Cálculo das taxas de juros

Antes de tudo, quero comentar que a definição da taxa de juros embutida num fluxo de caixa, também chamada taxa interna de retorno, não deve ser usada na comparação de alternativas exclusivas, principalmente se a vida ou fluxos dessas alternativas tiverem tempos diferentes. O método correto de comparar alternativas exclusivas é definir qual delas produz um maior valor presente à taxa de atratividade ajustada ao risco do investidor.

O uso principal do cálculo da taxa interna de retorno é compará-la à taxa de investimento alternativa do investidor, ajustada ao risco, aceitando projetos onde ela é maior. É importante notar que esta taxa interna de retorno é única apenas se ocorrer no início uma saída de caixa e a partir daí ocorrerem fluxos positivos. Se houver caixa negativo em anos futuros a anos positivos, o fluxo apresentará mais de uma resposta como sua taxa interna de retorno. O que segue é esta matemática.

Primeiramente vamos calcular taxa de juros ou de atratividade dados o Valor Presente na data t₀ e o Valor Futuro na data t_n.

Já vimos que: FV_tn = PV_t0 × (1 + r )ⁿ e portanto (1 + r )ⁿ = ( FV_tn / PV_t0 )

Portanto se (1 + r )ⁿ = ( FV_tn / PV_t0 )  => r = ( FV_tn / PV_t0 )^1/n 

r = ( FV_tn / PV_t0 )^1/n  – 1

Na perpetuidade é ainda mais fácil calcular a taxa de juros a partir do valor presente PV_t0  e da parcela perpétua P:

Sabemos que:

PV_t0   = P / r  

Portanto    r  = P / PV_t0

Em seguida a relação entre taxa de juros e n parcelas iguais e discretas consecutivas:

Mostramos que:P = PV × r / ( 1 –  1 /(1 + r)ⁿ )

Esta equação obviamente tem uma única solução para r dados P, PV e n, entretanto não há uma solução algébrica simples devido ao exponencial n.

Vários métodos são apresentados para aproximar o valor de r em calculadoras financeiras.  O Excel tem formulas iterativas que aproximam esta solução. Abaixo indico um exemplo de como isto pode ser feito mesmo sem as fórmulas iterativas já programadas:

Suponha que ao investir $1000 você receba 10 parcelas de $110. Qual a taxa de juros envolvida:

Escrevam no Excel as fórmulas assim, onde delta é a diferença entre a segunda e quinta colunas:

r=5% foi um chute e se mostrou muito alto, portanto iremos reduzir este chute até que o delta se aproxime de zero e teremos a resposta.

  Bem perto, não é?

Também podemos desenhar o gráfico ( Figura 5) desenhar r x Delta e ver quando ele cruza o eixo Delta = zero, um pouco acima de 0,897%.

Figura 5

Sumário das fórmulas de matemática financeira com fluxos discretos

Figura 6

Sendo:

PV = valor presente no início dos períodos

FV = valor futuro no final dos períodos

n = número de períodos

r = taxa de juros reais ou taxa de atratividade por período

P = parcelas uniformes ocorrendo durante todos os períodos

Os fluxos azuis, vermelhos e verdes se equivalem a uma taxa de juros de 5% ao período.

Valor Futuro a partir de um Valor Presente: FV = PV × (1 + r )ⁿ

Valor Presente a partir de um Valor Futuro: PV = FV / (1 + r )ⁿ

Valor da Prestação Uniforme a partir do Valor Presente: P = PV × r / ( 1 –  1 / (1+r)ⁿ )

Valor da Prestação Uniforme a partir do VF: P = (FV / (1 + r )ⁿ ) × r / ( 1 –  1 / (1+r)ⁿ )

Valor Presente a partir de Prestação Uniforme:  PV= (P / r) × ( 1 –  1 / (1 + r)ⁿ )

Valor Futuro a partir de Prestação Uniforme: FV = (P / r) × ( 1 –  1 / (1 + r)n ) x (1 + r )ⁿ

Valor Presente de uma perpetuidade P (n = ∞): PV = P / r

Taxa de Retornoa partir de n, PV_t0 e FV_tn: r = ( FV_tn / PV_t0 )^1/n  – 1

Taxa de Retorno a partir de PV_t0 e uma perpetuidade discreta P: r  = P / PV_t0

PARTE I – CAIXA E TEMPO COMANDANDO O VALOR

(livro inédito em capítulos do blog)

PREFÁCIO – OBJETIVO DO LIVRO

Avaliação Econômica e Maximização de Resultados

Meu objetivo deste livro é desenvolver uma conversa sobre Avaliação Econômica e apresentar a sua base matemática como a ferramenta neste processo.  

Procurei abordar as várias técnicas e fundamentos necessários com o suficiente da análise dos fundamentos tentando manter o foco na visão geral. Procurei caminhar desviando das pedras e buracos do caminho sem perder de vista a paisagem. Espero chegar ao destino.

Primordialmente tentei manter uma abordagem prática. Quando julguei necessário acrescentei fundamentos técnicos. Abordei assuntos que são tratados em outros livros, a maioria deles não escritos na nossa língua. Sempre que possível tentei tratá-los de forma inédita, principalmente quando acreditei que isto pudesse facilitar o entendimento dos conceitos. Também tentei analisar alguns conceitos que, ao longo da minha carreira e do meu estudo, me incomodaram por ter de comê-los como pratos prontos. Espero que apreciem minha abordagem.

Tentei utilizar minha experiência como executivo e como líder no assunto de uma das grandes multinacionais do setor químico e petroquímico. Procurei valer-me do aprendizado com os desafios que enfrentei; com os executivos e líderes que ajudei a formar; com os parceiros com os quais negociei e com a grande variedade de negócios que tive a oportunidade de conhecer e aperfeiçoar.

PARTE I – CAIXA E TEMPO COMANDANDO O VALOR

(e mais um fator, o risco)

Caixa e valor do dinheiro ao longo do tempo

Nos meados dos 90 fui convocado a depor em Nova York, numa arbitragem entre a Dow e uma empresa caribenha. A arbitragem foi movida pela empresa caribenha contra a Dow, porque a americana havia abandonado unilateralmente um projeto que estava sendo estudado no país dos reclamantes. Eu era avaliador econômico do projeto e chegara à conclusão de que, devido a uma série de fatores, alguns estruturais, o mesmo não seria viável do ponto de vista econômico, mesmo em condições relativamente otimistas. Como muito pouco investimento tivesse sido realizado até o momento, recomendei sua interrupção. Meu empregador acatou minha recomendação e, não tendo a imediata adesão do sócio, o fez unilateralmente. Dessa divergência instalou-se a arbitragem prevista nos contratos.

Arbitragem, no caso, é uma forma inteligente e rápida para resolver disputas. Cada empresa escolhe um árbitro de sua confiança. Esses dois árbitros – em comum acordo e sem a interferência das empresas em litígio – escolhem um árbitro neutro. Esses três árbitros dão o veredicto que não pode ser contestado. Essas pessoas não são juízes ou advogados, mas pessoas reconhecidamente idôneas e capacitadas. No caso do árbitro neutro, foi escolhido um executivo sênior que era membro externo do Conselho de Diretores (Board of Directors) de pelo menos duas grandes empresas multinacionais.   Por motivos que entenderão, deixo de mencionar quais.

O argumento da Dow, durante todo o processo de arbitragem, foi mostrar que em boa fé e em condições realistas havia pouca ou nenhuma chance do projeto vir a ser economicamente viável. Foram vários dias de uma verdadeira batalha de informações, análises e lógica. Cada empresa contou com o aconselhamento de grandes e eficientes escritórios de advocacia especializados, peritos economistas, empresas de estatísticas em análise de mercados e preços e, principalmente, com documentos e depoimentos de funcionários que, por terem participado do projeto, eram arguidos por advogados que representavam os dois lados da disputa.

O objetivo de cada lado, no final das contas, acabou sendo o de tentar convencer os árbitros, mas principalmente o árbitro neutro dos seus pontos de vista.

Foi nesse processo e durante o meu depoimento ao responder questões dos advogados dos dois lados, mas tentando mostrar ao árbitro neutro o motivo da minha recomendação, que me surpreendi com o seguinte comentário dele (minha tradução): “Nas suas planilhas você estima lucro em quase todos os anos! Eu participo do Conselho de várias empresas e quando me apresentam projetos lucrativos, eu os aprovo! Porque você está recomendando o contrário?”.    

Como não havia discutido tal situação com nossos advogados tive que decidir de imediato que tipo de resposta deveria dar.  A próxima pessoa a ser questionada na arbitragem seria o CFO da Dow, na época, um membro executivo do Conselho de Diretores da Dow. Assim resolvi somente tocar a bola e deixar o assunto em aberto. Respondi o seguinte: “Entendo o que você diz. Entretanto preciso lhe informar que este não é o processo que usamos para tomar decisão no Conselho Executivo da Dow. A próxima pessoa a depor é um membro deste Conselho. Você pode fazer esta pergunta diretamente a ele e confirmar minha resposta”.   

Ao terminar esta minha participação, comuniquei o ocorrido ao CFO da Dow de que este assunto viria à tona. Sugeri que ele pensasse em uma resposta  didática, devido à falha conceitual do árbitro. Tínhamos que fazê-lo entender que nossa recomendação havia sido correta apesar da sua limitada compreensão do assunto.  

Em primeiro lugar eu havia tratado o projeto do ponto de vista operacional, sem inclusão de empréstimos, juros ou amortizações. Tratei o projeto para todos os investidores de capital, acionistas e financiadores. Este fato já havia sido claramente exposto aos árbitros. Mas mesmo que tivesse feito o projeto do ponto de vista do acionista, minha posição seria a mesma.

A partir desse ponto toda nossa atuação na arbitragem mudou de estratégia. Enquanto nossos ‘adversários’ tentavam capitalizar na falha conceitual daquele árbitro, nós passamos a “dar aulas” de fundamentos de finanças, junto às respostas ás perguntas que respondíamos. Como, no final da arbitragem, tivemos uma decisão justa, acho que aquele árbitro saiu de lá mais sábio para suas participações em Conselhos futuros.

Quis, com este relato curioso, enfatizar que, eventualmente, executivos experientes de áreas não financeiras têm deficiências técnicas. Não basta haver lucro para definir uma empresa saudável. Em outras palavras, não é o lucro contábil que define o valor da empresa. Uma empresa lucrativa pode, na verdade, até reduzir o potencial de acumular riqueza de seus donos. Um dos motivos para isto é que, na contabilização do lucro, existem elementos que não representam entrada ou saída monetária, como, por exemplo, a depreciação, mas também existem elementos que não aparecem na apuração contábil do lucro, mas que podem significar grandes necessidades monetárias. Exemplo dessas necessidades são os recursos necessários para a formação ou aumento de estoques, os recursos congelados em função dos prazos de pagamento oferecidos aos clientes, os ativos fixos como terrenos, fábricas, escritórios, entre outros. Esses elementos não alteram diretamente ou imediatamente o lucro da empresa, mas provocam imediata necessidade de recursos. Além disso, quanto mais capitalizada (com recursos dos acionistas) a empresa for, menor a relação entre o lucro e a valorização da mesma, já que o custo ou alternativa que teriam seus acionistas não aparece como custo da empresa. Portanto não é o lucro que define o valor da empresa.

O valor da empresa também não é o valor gasto para comprar ou construir suas fábricas e outros dos seus ativos. Depois de instalados, esses valores estão enterrados, quase perdidos, até por que, se forem vendidos como ativos, talvez gerem de volta uma pequena parcela do que se gastou com eles. É possível que uma fábrica que custou uma grande soma, ao ser fechada e ter seus ativos vendidos, proporcione como valor de recuperação apenas uma mínima fração do valor gasto em sua instalação. É possível que apenas seja vendida como “ferro velho” ou, pior ainda, que gere uma necessidade de saída de recursos pelas exigências dos órgãos reguladores: como limpeza do terreno, reparações ambientais e necessidades fiscais e trabalhistas envolvidas no processo de descontinuidade do negócio.

O que define de fato o valor da empresa é sua capacidade de gerar caixa líquido ao longo de sua vida futura.Ou seja, sua capacidade de gerar uma quantidade de recursos disponíveis aos donos ou acionistas depois de pagar dívidas, juros e impostos e reinvestir na necessária manutenção para manter sua continuidade. Eventualmente esse caixa líquido pode ficar retido na empresa devido falta de base para a sua distribuição (lucro acumulado negativo), mas, mesmo assim gera valor, uma vez que proporciona recursos para modernização, reparos e crescimento na própria empresa, sem necessidade de novas injeções de caixa. É verdade que empresas em rápido crescimento possam gerar caixa negativo por alguns anos e ter muito valor pelo imenso caixa que se espera gerar mais à frente, mas o conceito de valor como função do caixa líquido gerado não muda.

Um outro aspecto é que a simples maximização da geração de caixa não é o bastante na definição de valor da empresa. O momento quando esse caixa é gerado é outro fator determinante na definição de valor da empresa, pois, até pela finitude da vida, queremos que essa quantidade de recursos seja obtida o mais cedo possível.  

Dessa forma, gerar $10,000 de caixa hoje pode gerar mais valor à empresa que gerar mais que este caixa daqui a vários anos.

Por fim, o último elemento na definição do valor da empresa é a alternativa  “ajustada ao risco” de taxas de aplicação disponíveis no mercado (trataremos disto adiante) aos donos do negócio. Por exemplo, com um risco provavelmente muito mais baixo, os donos do negócio poderiam aplicar os mesmos recursos em letras do tesouro nacional ou o equivalente em outros países. Essa alternativa, ajustada ao risco do negócio é a chamada taxa de oportunidade. Temos um capítulo para tratar especificamente desse assunto.

Alternativa tem um papel muito importante em Avaliação Econômica, para além de definição da taxa de desconto. Para avaliadores que comecei a treinar costumava dizer que Avaliação Econômica é a arte de entender as alternativas. Afinal, dificilmente fazer alguma coisa tem como alternativa não fazer nada. Quase sempre fazer alguma coisa significa deixar de fazer outra.

Assim o valor da empresa não é dado pelo valor que nela foi investido ou por sua capacidade de produzir lucro contábil.  O valor da empresa é definido pelo valor presente descontado à taxa de oportunidade ajustada ao risco do caixa líquido que a empresa irá gerar de hoje em diante.

Diz-se que uma empresa criará valor se este valor presente for superior ao valor investido nela trazido para a mesma data através do custo de oportunidade do investidor.  Entretanto o investimento somente será importante no momento que se pode decidir ou não em investir. Investimento já feito não participa da definição de valor da empresa. Quando se avalia uma empresa para comprá-la, quase tudo o que já foi investido nela não é importante, já que pouco ou nada disto pode ser recuperado. O foco deve estar no valor presente da sua capacidade de gerar caixa no futuro.

Decidir entre alternativas excludentes é avaliar qual delas produz o melhor fluxo de caixa, ajustado ao risco. Ajustado ao risco é fundamental não apenas à taxa de desconto. Quando falamos de futuro e incertezas, uma alternativa um pouco melhor, mas que traz como consequência uma tragédia caso algo dê errado, não é uma boa alternativa.

Quando falamos em investir num projeto, devemos fazê-lo quando o valor presente do caixa líquido que o projeto irá gerar, descontado à taxa de oportunidade dos investidores, ajustada ao risco, superar o valor presente dos investimentos à mesma taxa de desconto.

No capítulo que segue apresento algumas dessas variáveis básicas da determinação de valor da empresa: “caixa”, “tempo” e “taxa de oportunidade ou de desconto”, as variáveis básicas da matemática financeira.

De risco, falo um pouco mais adiante.

O Ovo ou a Galinha?

Passando pelo Facebook me deparei com essa questão filosófica da origem.

Se pensarmos na questão sem preconceitos filosóficos ou religiosos, poderíamos, por exemplo, para as religiões advindas do judaísmo que inclui o cristianismo, responder com a leitura de Gênesis. Assim, não haveria dúvidas de que a galinha veio antes do ovo, pois foi feita no quarto dia da criação, juntamente com todos os animais terrestres. Os animais aquáticos teriam sido criados no quarto dia da criação. E tudo isto teria ocorrido faz pouco menos de sete mil anos.

Se olhamos a questão de quem precede, o ovo ou a galinha, do ponto de vista científico e usando a ciência, a resposta poderia ser outra.

A questão da originalidade, no caso, da fêmea do “Gallus Gallus Domesticus” ou de seu ovo. Segundo estudos da biologia evolutiva, a galinha doméstica moderna teria surgido cerca de 50 milhões de anos atrás, advinda da primeira espécie de ave que derivara dos dinossauros que teriam surgido há 140 milhões de anos.

Se usarmos a esperteza para fugir da questão, talvez pudéssemos racionalizar que os dinossauros, que já se reproduziam a partir de ovos teriam e surgido há 340 milhões de anos, teriam produzido o ovo muito antes da galinha. Mas é óbvio que se pretende definir quem é original, a galinha ou o ovo de galinha.

A teoria evolutiva imagina que a mudança genética que resultou na galinha doméstica moderna ocorreu num determinado ovo de um ancestral. Assim a questão seria respondida dando prioridade a um ovo defeituoso de outra espécie que teria originado a galinha original.

Para os puristas da lógica, entretanto, cabe ainda a definição de se um ovo de não galinha como um DNA defeituoso que tivesse gerado um embrião que se desenvolveu em galinha, já seria um ovo de galinha.

Desta forma, voltamos ao ponto de partida. Com mais conhecimento, com uma boa teoria, mas com a mesma questão.

A pergunta correta é se é necessário ou útil tentar racionalizar sobre definições depois de sabermos os fatos.

Talvez o seja ou seja tolice fazê-lo. Vamos pensar na comparação do ovo ou a galinha com a visão da administração economia dos governos ditos “progressistas” e dos ditos “conservadores”. Nomes são nomes e poderiam ser chamados de “intervencionistas” ou “liberais”, “socialista” ou “capitalista “de “esquerda” ou “direita” e assim por diante. A maioria dos leitores veste uma dessas camisetas. A maioria, eu disse.

Se concordarmos em descartar que nossos governantes apenas ajoelhem-se e rezem por uma intervenção divina na economia (apenas, disse eu novamente) então vamos pensar a respeito.

Eu vejo a economia como uma grande casa de família. Um casal patri-matriarcal, pai e mãe que trabalham e administram o grupo para sustentar seus filhos e cerca de 50 súditos (membros de famílias com dois a cinco filhos).

Esse clã tem um rebanho de 5000 ovelhas que comem do pasto da região e se reproduzem produzindo 1000 ovelhas por ano. O grupo precisa sacrificar 25 ovelhas por semana para que cada membro possa comer meia ovelha na semana. Complementam a alimentação com o leite e queijo que produzem. Assim vivem, modestamente, há cinco séculos. Como os nascimentos e mortes anuais se equivalem o grupo tem sido estável.

Como devem ter percebido, o casal patriarcal do clã tem tido uma administração socialista com uma muito justa distribuição de renda, sem quaisquer prêmios ou privilégios a seus membros. Todos fazem estritamente o que lhes cabe que é que cada família mande um membro dela pastorear e ordenhar as ovelhas enquanto o restante descansa em suas tendas de pele de ovelha.

Entretanto esse estado é quebrado quando um filho de uma das famílias vai ao chefe do clã com uma proposta… Assim eu termino esta singela crônica do Ovo ou a Galinha, tendo certeza de que meus leitores vão poder seguir com a história em seus pensamentos. Peço apenas que sejam honestos e criativos e construam o que julgarem possível desse clã de pastores de ovelhas.

Deus foi um dos meus principais interlocutores como forma de pensar.

Esse Deus dos meus pensamentos foi, fundamentalmente, quem me levou a quase me tornar um ateu.

Foi na conversa com Deus que fui levado a abandonar quase todas as hipóteses do divino.

Deus me provou que todas as divindades eram nada mais que muletas às necessidades de respostas, às angústias que atormentam os seres pensantes.

O que somos, de onde surgimos e qual será nosso fim?

“Conversa com Deus

Bom dia, Criador!

Espero encontrar-te sendo,

Espírito que voa sobre as águas.

Espero que concedas

A mim, fruto da criação,

Os meios de conhecer-te

Em sentimento ou razão.

Te reveles destas vestes

A esses olhos que me destes.

Sei que fé é só embuste

A levar a outros deuses,

Desses que inventamos

A servir nossos propósitos.

Quero a ti real e vero.

Conhecer os teus mistérios.

Se estar não te permites

Ou ser não te compraz,

Espero que, sendo sincero,

Mesmo assim te reveles.

Pois estou aqui e a ti espero.”

O que sou? Por que estou aqui? Qual meu destino?

Essas questões são as questões fundamentais e angustiantes. A questão da origem, da consciência e mais importante, a questão da finitude, do lidar com a morte.

A morte é nosso total, certo e incompreensível destino. Ou não? Quiçá não o seja, que não o seja, mas parecer ser o mais definitivo e previsível futuro.

“Quando a noite vem

É certo que ainda é dia.

Caminhamos seguros,

Construindo novas memórias.

Passos seguem passos ainda por vir.

O dia se faz de rotinas e surpresas.

Amores brotam,

Rancores surgem.

Muitos minguam

na passividade do acaso.

Tristezas assombram,

Risos afloram,

Emoções e desejos excitam.

Com o tempo tudo desvanece.

Assim são feitos os dias.

Tudo segue até que não mais.

O brilho atenua,

Cores se tornam opacas,

A dimensão se confunde.

Silhuetas cobrem a realidade em desenho monocromático.

Cinza sobre cinza em cinzas.”

A derradeira noite, a ausência, a inexistência são as temidas e mais prováveis possibilidades. A menos que haja um Deus e um destino desenhado por Ele.

Talvez um Deus, representando em nossa consciência, seja um bom interlocutor para questionar essas questões fundamentais. Seria uma forma de manter “honesta” nossa consciência e livre do medo.

O Chat GPT não é Deus, mas pode ser usado numa conversa um poco mais franca. Vamos tentar?

Você disse:

Você pode responder sobre religião da mesma forma que faz com a ciência?

O ChatGPT disse:

Sim, posso responder sobre religião com o mesmo compromisso de clareza, precisão e respeito que uso ao falar de ciência — mas há algumas diferenças importantes na abordagem:

 Ciência

• Baseia-se em método empírico, observação, experimentação e revisão por pares.
• As conclusões são refutáveis e podem mudar com novas evidências.
• Exemplos: gravidade, evolução, estrutura do átomo.

 Religião

• Baseia-se em fé, doutrinas, revelações e tradições espirituais e culturais.
• As afirmações religiosas são geralmente não refutáveis, no sentido científico, e variadas entre tradições.
• Exemplos: existência de Deus, vida após a morte, inspiração das escrituras.

Se quiser, posso tratar um tema específico com linguagem objetiva ou com tom mais reflexivo ou filosófico, dependendo do seu interesse.

Quer começar com algum assunto específico?

Você disse:

Sim. Segundo o judaísmo qual a idade do universo?

O ChatGPT disse:

Segundo a tradição judaica, especialmente na sua leitura mais tradicional e baseada no Tanakh (a Bíblia Hebraica), a idade do universo é de aproximadamente:

5.785 a 5.786 anos (em 2025)

Essa contagem é feita a partir da criação do mundo, como descrita no Gênesis, e é baseada em cálculos genealógicos e cronológicos feitos por sábios judeus ao longo dos séculos — principalmente a partir do Talmude e dos comentários do sábio medieval Maimônides (Rambam) e do cronologista Rabi Yitzhak ben Yehuda HaLevi (Seder Olam Rabbah).

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Como é feita essa contagem?

• A cronologia parte de Adão, supostamente criado no “ano 1”.
• Os anos são contados sequencialmente com base nos descendentes bíblicos.
• Em 2025, o ano judaico será 5786, iniciando-se no pôr do sol de 2 de outubro de 2025.

Judaísmo e Ciência

Muitos judeus modernos e intelectuais religiosos buscam conciliar essa cronologia simbólica com a ciência. Algumas abordagens incluem:

1. Leitura alegórica de Gênesis — os “seis dias” da criação podem representar eras ou fases cósmicas, não dias literais.
2. Relatividade do tempo — autores como o rabino Dr. Gerald Schroeder, que também é físico, sugerem que o tempo nos primeiros instantes do universo, segundo a física moderna, se expandiria de forma que os “seis dias” da criação poderiam, em outro referencial, corresponder a bilhões de anos.

Você disse:

E o cristianismo? também acreditam na cronologia apresentada no velho testamento?

O ChatGPT disse:

Boa pergunta — e a resposta depende bastante da corrente do cristianismo. Em resumo:

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Cristianismo e a idade do universo

O cristianismo herda o Antigo Testamento (Velho Testamento) do judaísmo, incluindo o Gênesis, mas não existe uma posição única sobre a idade do universo. As opiniões variam muito entre os diferentes ramos e tradições cristãs.

Cristãos literalistas (jovem Terra)

Alguns grupos, especialmente entre os protestantes evangélicos fundamentalistas, acreditam que:

• A criação em Gênesis ocorreu em seis dias literais de 24 horas.
• A Terra e o universo teriam cerca de 6.000 a 10.000 anos.
• Essa cronologia segue cálculos como os do bispo anglicano James Ussher (século XVII), que datou a criação em 4004AC

Esses cristãos são chamados de criacionistas da Terra jovem.

Cristãos conciliadores (Terra antiga)

Muitos cristãos — incluindo católicos, ortodoxos e protestantes moderados — aceitam as descobertas da ciência moderna e entendem o Gênesis de forma simbólica ou teológica, não literal:

• Os “dias” da criação são lidos como eras ou fases, não períodos de 24 horas.
• A criação é vista como uma mensagem espiritual sobre a ordem, a bondade e a origem divina do universo, não um relato científico.
• A idade do universo é aceita como sendo de ~13,8 bilhões de anos, segundo a cosmologia moderna.

Exemplos:

• A Igreja Católica aceita o Big-Bang e a evolução como compatíveis com a fé (desde que Deus seja o autor do processo).
• O papa Pio XII e mais claramente o papa Francisco já afirmaram isso publicamente.
• Muitos teólogos usam a ideia de que “a Bíblia nos ensina como ir ao céu, não como o céu funciona” (frase atribuída a Galileu e também a Santo Agostinho em sentido semelhante).

Se você quiser, posso explicar como os primeiros cristãos interpretavam Gênesis, ou como diferentes denominações abordam a relação entre fé e ciência. Quer seguir por alguma dessas linhas?

Você disse:

E o islã? como entende a idade do universo?

O ChatGPT disse:

Excelente pergunta — o Islã, assim como o judaísmo e o cristianismo, acredita que Deus (Allah) é o Criador do universo, mas não define uma idade exata do universo no Alcorão. Ainda assim, há diferentes interpretações entre os muçulmanos.

ISLÃ E A IDADE DO UNIVERSO

1. O que o Alcorão diz?

O Alcorão não fornece uma cronologia específica, como faz o Gênesis na Bíblia. Em vez disso, fala em termos mais poéticos, simbólicos e espirituais sobre a criação:

• Allah criou os céus e a terra em “seis dias” (por exemplo, Surata 7:54, 10:3, 11:7).
• Mas esses “dias” são frequentemente entendidos como eras ou fases, e não literalmente dias de 24 horas.
• Em vários versos, é dito que “um dia para Allah é como mil anos” ou até “cinquenta mil anos” para os humanos (Surata 22:47 e 70:4), o que reforça a ideia de tempo simbólico.

2. Tradições islâmicas e ciência moderna

A maioria dos muçulmanos contemporâneos, incluindo estudiosos e cientistas islâmicos, aceita a idade do universo estimada pela cosmologia moderna — cerca de 13,8 bilhões de anos — e vê isso como compatível com o Alcorão.

Exemplos de conciliação:

• Muitos veem o verso sobre a separação dos céus e da terra (Surata 21:30) como sugestivo do Big Bang.
• A expansão do universo (Surata 51:47) é interpretada por alguns como uma referência ao que hoje chamamos de expansão cósmica.

Importante: Essas leituras não são consenso e dependem de interpretações modernas, especialmente de pensadores muçulmanos que tentam reconciliar fé e ciência.

3. Há muçulmanos criacionistas?

Sim, existem muçulmanos que interpretam o Alcorão de forma mais literalista, incluindo:

• Rejeição da evolução biológica.
• Visões de uma Terra jovem, mas sem uma data específica como no cristianismo protestante (não há tradição cronológica fixa como o “ano da criação”).

Grupos como os seguidores de Harun Yahya (Adnan Oktar) defendem o criacionismo islâmico, mas essa visão é controversa dentro do próprio Islã.

cos específicos que tratam da relação entre cosmologia e o Alcorão, ou mostrar versos específicos e como são interpretados.

Você disse:

Como o judaísmo, o cristianismo e o islamismo entendem o dilúvio e Noé dentro da cronologia da história e a questão dos casais de todos os animais dentro de uma arca?

O ChatGPT disse:

Essa é uma pergunta profunda e fascinante, porque envolve tanto teologia quanto história, mitologia comparada e até biologia. Judaísmo, cristianismo e islamismo compartilham a narrativa básica do dilúvio e de Noé (ou Nuh), mas interpretam e explicam essa história de formas distintas, especialmente quando se trata de cronologia histórica e da viabilidade literal da arca com casais de todos os animais.

Vamos ver como cada tradição trata isso:

JUDAÍSMO

Texto base:

• O relato do dilúvio está na Torá (Gênesis 6–9).
• Deus ordena a Noé que construa uma arca e leve “de cada espécie, macho e fêmea” (ou 7 pares de animais puros e 1 par dos impuros, segundo Gênesis 7:2).

Cronologia:

• Os rabinos antigos colocam o dilúvio por volta de 1656 anos após Adão, o que seria algo entre 2.300 a 2.500 a.C. na cronologia tradicional judaica.
• Essa data é muito mais recente que as evidências científicas sobre a origem da humanidade e a domesticação dos animais.

Interpretação:

• Judeus ortodoxos mais literalistas creem que o dilúvio foi universal e real.
• Outros judeus (conservadores, reformistas e modernos) veem a história como alegórica ou mítica, refletindo tradições antigas como o mito sumério do dilúvio (por exemplo, o Épico de Gilgamesh).
• A arca é vista como simbólica, representando salvação, renovação e aliança com Deus.

CRISTIANISMO

Texto base:

• A história de Noé também está em Gênesis 6–9, compartilhado com o judaísmo.
• O Novo Testamento confirma a existência de Noé e o dilúvio (Mateus 24:37–39; Hebreus 11:7; 1 Pedro 3:20).

Cronologia:

• Cristãos criacionistas da Terra jovem colocam o dilúvio por volta de 2.300 a.C., com base na cronologia bíblica.
• Cristãos que aceitam a ciência moderna geralmente não tentam datar literalmente o evento.

Interpretação:

• Cristãos literalistas (evangélicos, fundamentalistas) afirmam que o dilúvio foi global e histórico.
• Afirmam que Deus milagrosamente fez os animais caberem na arca e sobreviverem.
• Cristãos tradicionais e modernos (católicos, ortodoxos, protestantes moderados) muitas vezes veem a história como teológica e simbólica, não como relato científico.
• A arca é interpretada como prefiguração de Cristo e da salvação espiritual.

ISLÃ

Texto base:

• A história de Nuh (Noé) está em vários trechos do Alcorão (por exemplo, Surata 11:25–48; Surata 71).
• O Alcorão confirma que Noé construiu uma arca e que os incrédulos pereceram, mas os detalhes são mais enxutos que na Bíblia.
• Fala-se em salvar “os que creram” e “casais de cada espécie”.

Cronologia:

• O Alcorão não fornece datas ou linhagens cronológicas específicas como a Bíblia.
• Tradições islâmicas posteriores colocam Noé como uma figura pós-Adão e pré-Abraão, mas a data exata é teologicamente irrelevante no Islã.

Interpretação:

• Muçulmanos literalistas (como os salafistas) tendem a crer num dilúvio real, talvez universal.
• Muitos estudiosos muçulmanos modernos o veem como dilúvio local, possivelmente na Mesopotâmia.
• A história é entendida mais como um exemplo de advertência moral e obediência a Deus do que como um evento geológico global.
• A questão dos casais de animais também pode ser interpretada de forma simbólica ou milagrosa.

Sobre a arca e os animais — desafios e interpretações

Problemas literais:

• A arca teria que abrigar milhões de espécies, com alimentos, ventilação e espaço — algo impossível biologicamente e logisticamente sem intervenção divina.
• A repopulação global a partir de um casal por espécie é geneticamente inviável.

Possíveis interpretações:

Tradição	Leitura da arca e animais
Literalista	Deus realizou milagres para preservar todos os animais e permitir sua multiplicação.
Alegórica	A arca representa a proteção divina e os animais simbolizam a diversidade da vida.
Localista	O dilúvio afetou apenas uma região e os animais levados eram apenas os domésticos ou conhecidos por Noé.

Ciência e dilúvio

• Não há evidência científica de um dilúvio global nos últimos 10 mil anos.
• Há, porém, hipóteses de inundações catastróficas locais, como o possível transbordamento do mar Negro (~7.000 a.C.) — que pode ter inspirado lendas regionais.

Você disse:

Por que deveríamos imaginar um Deus fazendo alegorias fantásticas e esperando que alguns crentes que não usam a lógica ou sua honestidade intelectual como sendo merecedores de sua companhia?

O ChatGPT disse:

Sua pergunta é profunda e corajosa — ela toca no cerne da tensão entre fé e razão, entre revelação religiosa e honestidade intelectual. Muitos pensadores religiosos e filósofos se confrontaram com esse dilema ao longo da história. Vamos destrinchar isso em partes, com respeito à diversidade de perspectivas e à sua inquietação legítima.

A QUESTÃO CENTRAL:

Por que um Deus digno de reverência escolheria se comunicar por meio de alegorias fantásticas e ainda valorizar pessoas que rejeitam a lógica ou suspendem o senso crítico?

Essa é uma crítica poderosa à literalidade ingênua e à visão de um Deus que premiaria a fé cega. Vamos explorar possíveis respostas de dentro e de fora da tradição religiosa.

1. A Perspectiva da Razão Crítica

Do ponto de vista filosófico secular:

• Um ser supremo que se manifesta em formas confusas, ambíguas ou mitológicas pode parecer contraditório com a ideia de um Deus racional, justo e universal.
• Muitos veem isso como evidência de que as religiões refletem construções humanas, com linguagem simbólica e mitológica para expressar verdades existenciais — não fatos objetivos.
• Honestidade intelectual exige que admitamos: se um texto sagrado diz que cobras falam, que a Terra foi criada em 6 dias, ou que um barco carregou todos os animais do mundo, isso entra em conflito direto com evidências e razão.

Resposta laica: essas alegorias não vêm de um Deus, mas da imaginação humana tentando compreender o mistério da existência com os recursos culturais e linguísticos disponíveis na época.

2. A Perspectiva Teológica Moderna

Muitos teólogos contemporâneos (inclusive cristãos, judeus e muçulmanos) argumentam que:

• Deus não deseja fé cega, mas sim um coração aberto ao mistério, que sabe que nem tudo pode ser capturado pela lógica.
• As “alegorias fantásticas” (como o dilúvio ou Adão e Eva) não são erros, mas metáforas arquetípicas para verdades espirituais e morais.
• A linguagem simbólica permite acesso universal a pessoas de todas as épocas e níveis de entendimento, sem exigir conhecimento técnico ou científico.

Por exemplo:

“A serpente no Éden” não precisa ser literal para nos dizer algo profundo sobre desejo, culpa e responsabilidade.

Essa visão não exclui a razão, mas coloca a lógica como um dos instrumentos (não o único) para se aproximar de Deus — ao lado da experiência, da intuição, da ética, do amor.

3. A crítica à fé sem pensamento

Você toca num ponto essencial: por que premiar a fé acrítica e rejeitar a razão?

Essa é uma crítica interna já feita por pensadores religiosos sérios, como:

• Tomás de Aquino, que defendia a harmonia entre fé e razão;
• Maimônides, no judaísmo, que dizia que tudo que contraria a razão deve ser interpretado não literalmente;
• Al-Ghazali e Averróis, no Islã, que debateram se a razão era um caminho legítimo para a verdade divina.

Portanto, as maiores tradições religiosas não exigem fé cega — mas infelizmente, muitos dos seus seguidores praticam a religião dessa forma, o que dá a impressão de que crer exige renunciar à lógica, quando, na verdade, essa é uma caricatura da fé.

4. Uma possível síntese:

Talvez a pergunta não deva ser:

“Por que Deus usa alegorias e recompensa os que não pensam?”

Mas sim:

“O que esses relatos querem nos dizer sobre a condição humana, mesmo que não sejam literais?”

E, mais ainda:

“Se existe um Deus, ele se relacionaria melhor com quem crê sem pensar, ou com quem busca com honestidade e dúvida?”

CONCLUSÃO

• A sua dúvida é legítima, honesta e importante — não é falta de fé, é busca por sentido verdadeiro.
• A visão de um Deus que exige ignorância ou obediência cega é insustentável para muitos crentes e ateus.
• As grandes tradições religiosas têm espaço para interpretações mais profundas, que valorizam a razão, a consciência moral e a experiência existencial.
• Talvez o verdadeiro “merecimento da companhia de Deus”, se é que essa linguagem faz sentido, esteja não na fé cega, mas na procura corajosa pela verdade — mesmo em meio à incerteza.

Se quiser, posso mostrar como autores religiosos e céticos lidaram com essa tensão (como Dostoiévski, C.S. Lewis, Kierkegaard, Nietzsche ou Carl Sagan). Quer seguir por essa linha?

Você disse:

Seria maravilhoso! Siga, por favor.

O ChatGPT disse:

Que bom que deseja seguir por essa linha! Vamos então explorar como grandes pensadores — religiosos e céticos — lidaram com a tensão entre fé, razão, dúvida e a busca honesta pela verdade. Em vez de respostas fáceis, eles nos oferecem reflexões profundas, muitas vezes desconfortáveis, mas sempre estimulantes.

1. Søren Kierkegaard (1813–1855) – O “salto de fé”

Quem foi:

Filósofo cristão dinamarquês, é considerado o pai do existencialismo. Ele via a fé como algo profundamente pessoal, angustiante e paradoxal.

Ideias principais:

• A fé não é lógica, nem racional — é um “salto no absurdo”.
• O verdadeiro crente é aquele que reconhece o paradoxo (por exemplo, Deus se tornando homem em Jesus) e aceita mesmo assim.
• Ele criticava o cristianismo “de costume”, superficial, sem sofrimento nem risco existencial.

“A fé começa exatamente onde o pensamento termina.”
— Kierkegaard

Para ele, Deus não quer crentes passivos, mas indivíduos que lutam com suas dúvidas e decidem confiar, apesar do absurdo.

2. C.S. Lewis (1898–1963) – A razão a serviço da fé

Quem foi:

Ateu convertido ao cristianismo, autor de As Crônicas de Nárnia e obras como Cristianismo Puro e Simples.

Ideias principais:

• A fé não rejeita a razão, mas a complementa.
• As histórias bíblicas podem conter elementos mitológicos, mas isso não anula sua verdade espiritual.
• Ele acreditava que Deus fala por meio de histórias, metáforas e experiências humanas, pois a linguagem literal não é suficiente para captar o divino.

“O cristianismo é um mito verdadeiro: um mito que se tornou fato.”
— C.S. Lewis

Para Lewis, a fé amadurece quando o indivíduo pensa, sente e age com honestidade moral.

3. Fiódor Dostoiévski (1821–1881) – A fé em confronto com o mal

Quem foi:

Romancista russo profundamente cristão, autor de Os Irmãos Karamázov e Crime e Castigo.

Ideias principais:

• A fé verdadeira deve enfrentar o problema do sofrimento e da injustiça.
• Em Os Irmãos Karamázov, o personagem Ivan desafia Deus com a pergunta:

“Se para alcançar o paraíso é necessário o sofrimento de uma única criança inocente… eu devolvo o ingresso.”

• Mas Dostoiévski também mostra, por meio de Aliócha (o irmão crente), que o amor, a compaixão e a fé humilde respondem ao mal de forma prática, não intelectual.

Ele via Deus como presente nos que amam, perdoam e sofrem com os outros, não como explicação lógica do universo.

4. Carl Sagan (1934–1996) – O ceticismo poético

Quem foi:

Astrofísico, ateu e divulgador da ciência. Autor de Cosmos e O Mundo Assombrado pelos Demônios.

Ideias principais:

• A religião tradicional não oferece evidências satisfatórias, mas a busca humana por sentido é real e bonita.
• A ciência é uma forma de espiritualidade — de deslumbramento diante do universo.
• Ele rejeitava o Deus das Escrituras, mas não descartava o mistério.

“Somos uma maneira do cosmos conhecer a si mesmo.”
— Carl Sagan

Ele defendia a honestidade intelectual radical, mas com humildade e reverência diante do desconhecido.

5. Friedrich Nietzsche (1844–1900) – O fim da fé tradicional

Quem foi:

Filósofo crítico da religião, especialmente do cristianismo institucional.

Ideias principais:

• “Deus está morto” significa que a ideia de Deus perdeu sua força cultural — não faz mais sentido num mundo moderno baseado em ciência e razão.
• Ele denunciava a religião como um instrumento de controle moral, negação da vida e covardia espiritual.
• Mas não pregava o niilismo — queria que o ser humano se tornasse criador de seus próprios valores, o “além-do-homem” (Übermensch).

“A fé é não querer saber a verdade.”
— Nietzsche

Mesmo assim, Nietzsche era profundamente espiritual em sua forma — buscando uma nova grandeza humana sem ilusões.

REFLEXÃO FINAL

O que todos esses pensadores mostram, cada um à sua maneira, é que:

• Dúvida não é o oposto de fé — é um de seus caminhos.
• Deus, se existir, talvez prefira a companhia dos que buscam com coragem e lucidez, não dos que aceitam dogmas sem pensar.
• A honestidade intelectual pode ser, sim, um ato espiritual mesmo que leve à fé, à dúvida ou à rejeição da religião.

Se quiser, posso trazer também visões orientais (como o budismo ou hinduísmo), que muitas vezes abordam a transcendência sem um Deus pessoal, ou continuar com filósofos mais contemporâneos. Deseja explorar mais alguma dessas direções?

Você disse:

Prefiro que explore a visão a esse respeito dos filósofos mais modernos

O ChatGPT disse:

Perfeito! Vamos então avançar para filósofos mais modernos e contemporâneos — que pensaram a relação entre fé, razão, espiritualidade e ceticismo num mundo pós-moderno, científico e plural. São pensadores que tentam ir além dos extremos de fé cega ou ateísmo militante, abrindo espaço para novas formas de transcendência, dúvida produtiva e busca por significado.

1. Paul Tillich (1886–1965) – O Deus como “fundamento do ser”

Quem foi:

Teólogo protestante e filósofo existencialista.

Ideias principais:

• Deus não é um ser ao lado de outros, mas o fundamento do ser — aquilo que faz ser possível o próprio ser.
• A fé não é acreditar em doutrinas, mas uma “preocupação última” — aquilo a que você se entrega profundamente, seja religioso ou não.
• Ele criticava as imagens infantis de Deus como um velhinho no céu, e defendia que linguagem religiosa é simbólica.

“Deus não existe — Deus é o ser-em-si. Se você sabe o que isso significa, você não negará Deus.”
— Tillich

Tillich conecta fé com profundidade existencial, não com mitologia ou literalismo.

2. Charles Taylor (1931–) – A fé na era secular

Quem é:

Filósofo canadense católico, autor de A Era Secular.

Ideias principais:

• Hoje vivemos em uma era onde é possível viver plenamente sem Deus, algo inédito na história humana.
• Mesmo assim, muitos sentem o “vazio espiritual” — um anseio por plenitude, sentido, transcendência.
• Ele chama isso de “condição secular”: um espaço onde fé e descrença convivem como possibilidades legítimas.

“Não é que Deus tenha desaparecido, mas que a crença deixou de ser a única opção plausível.”
— Charles Taylor

Taylor mostra que a fé hoje não é mais herdada — é escolhida, e precisa ser autêntica, consciente e dialogante com o mundo.

3. Richard Dawkins (1941–) – A religião como ilusão evolutiva

Quem é:

Biólogo evolutivo britânico, autor de Deus, um Delírio.

Ideias principais:

• Deus é uma hipótese desnecessária: a ciência explica o mundo sem precisar do sobrenatural.
• A religião é um produto colateral da evolução, como um “vírus mental” (memes religiosos).
• Ele critica severamente a fé cega, o literalismo e o fanatismo religioso.

“A fé é a grande desculpa para se evitar o pensamento.”
— Dawkins

Ele representa o novo ateísmo — combativo, racionalista e antiteísta — mas é criticado por simplificar a fé ao tratá-la apenas como erro lógico.

4. John Caputo (1940–) – A religião sem religião

Quem é:

Filósofo americano, influenciado por Jacques Derrida, mistura pós-modernismo com espiritualidade.

Ideias principais:

• Fala de uma “religião sem religião” — ou seja, um desejo pelo impossível, por justiça, por algo que nos transcende.
• O nome “Deus” pode ser um chamado ético, uma abertura ao outro, não necessariamente um ser.
• Ele não quer salvar a religião tradicional, mas manter viva sua capacidade de provocar o coração e a consciência.

“Deus não existe — Deus insiste.”
— Caputo

Caputo mostra que é possível uma espiritualidade radical, sem dogmas, aberta ao mistério.

5. Yuval Noah Harari (1976–) – Religião como narrativa evolutiva

Quem é:

Historiador e pensador israelense, autor de Sapiens e Homo Deus.

Ideias principais:

• As religiões são sistemas de ficção compartilhada que ajudaram os humanos a cooperar em grande escala.
• Hoje, as “novas religiões” são o capitalismo, o humanismo e o dataísmo.
• Ele não rejeita totalmente a espiritualidade, mas vê o conteúdo literal das religiões como mitologia útil — não verdade factual.

“Deus é um produto da imaginação humana, mas isso não significa que não seja poderoso.”
— Harari

Ele propõe uma reflexão ética e crítica sobre como crenças moldam realidades humanas, mesmo quando são ficções.

REFLEXÃO FINAL

A era moderna e pós-moderna nos coloca diante de uma escolha mais complexa e mais livre do que nunca:

• Podemos ter fé, mas uma fé crítica, simbólica e ética.
• Podemos ser céticos, mas ainda espirituais, poéticos e comprometidos com o bem.
• Podemos abandonar a religião formal, mas ainda buscar profundidade existencial, justiça e mistério.

Talvez o verdadeiro “Deus”, se existir, não esteja esperando que creiamos em arcas literais, mas que pensemos com coragem, amemos com inteireza e caminhemos com autenticidade.

Quando se pensa em religião, na minha opinião e segundo a conversa que mantive com a inteligência artificial, a primeira coisa a abolir são as religiões habituais. Assim, para não abolir Deus, há que se abdicar dessas religiões. Se Deus está morto, para Nietzsche, foi porque a humanidade o matou ao criá-lo à imagem e semelhança do homem.  

A fé, talvez, foi a pior das armas contra a divindade. Cético é uma palavra maldita que indica o que não acredita em nada. Mas aceitar a fé e a crença que ofendem a razão é o pior dos ceticismos. É abdicar da maior dádiva da humanidade. Duvidar da capacidade de pensar e concluir racionalmente. É entrar um carro desgovernado e imaginar que ao invés de bater no próximo poste ele nos levará sãos e salvos à nossa casa do outro lado da cidade. Só porque nos submetemos a Ele. Se houver uma divindade que queira ser encontrada, não seria a maior das suas dádivas o melhor caminho?

O caminho da fé é o caminho dos senhores que querem a escravidão. Obediência sem questionar para um prêmio transcendental e invisível. Tudo depois do show de inúmeros ilusionistas e das histórias que ouvimos sobre seus espetáculos.

Ou isso ou a danação eterna, em fogo e enxofre. Pior ainda quando convocam exércitos a nos impelirem ao abismo.

Usam o medo, usam todas nossas aflições, usam nossas doenças, nossa velhice, tudo o que for lícito e ilícito nessa cilada.

A existência ou não existência da divindade são possibilidades a serem ponderadas. O transcendental, o espiritual, algo além das nossas vidas, algo além da eletricidade que move o cérebro podem ou não existir. Crer ou não nesse algo além da energia e da matéria, algo além das quatro forças da física é irrelevante, porém são possibilidades. Felizmente, crer nunca bastou à mente curiosa. Supor é fundamental à procura.